[论文解读] Maximal supersymmetry in ten and eleven dimensions

José Figueroa-O’Farrill|ArXiv.org|Sep 21, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文分类了十一维和IIA型超引力中的最大超对称解，表明IIA型中唯一的最大超对称解是平坦时空且标量场为常数、形式场为零的解。通过Kaluza-Klein约化和对 Killing 旋量的分析，证明了在十一维中不存在具有保留全部超对称性的圆作用的AdS或pp-波解，从而得出结论：在十维中唯一满足此条件的解是平坦时空。

ABSTRACT

This is the written version of a talk given in Bonn on September 11th, 2001 during a workshop on "Special structures in string theory". We report on joint work in progress with George Papadopoulos aimed at classifying the maximally supersymmetric solutions of the ten- and eleven-dimensional supergravity theories with 32 supercharges.

研究动机与目标

• 对具有32个超电荷的十一维超引力的所有最大超对称解进行分类。
• 确定这些解中哪些能允许一个圆或$\mathbb{R}$-作用以保持全部超对称性，从而实现向IIA型超引力的Kaluza-Klein约化。
• 识别是否存在十一维中的非平坦解（如AdS或pp-波解）可约化为十维中的最大超对称解。
• 确立在IIA型超引力中平坦解的唯一性，且除度规和标量场外其余场均消失。

提出的方法

• 通过联络和涉及4-形式场强$F$的曲率项定义超协变联络$D$，以表征超对称解。
• 应用Killing旋量方程$D\varepsilon = 0$以识别保留32个超对称性的解。
• 对具有类空等距的十一维解进行Kaluza-Klein约化，将其度规和$F$-形式分解为涉及度规$h$、标量场$\Phi$以及场强$H$、$G$的分量。
• 通过$\mathbb{R}^9$上的对称双线性形式$A$，分析由对称空间$G_A/K_A$导出的等距代数，使用不可约洛伦兹对称空间的分类。
• 识别出唯一非退化的$A_* \in \mathcal{M}_{11}$，其对应十一维中唯一的最大超对称解，且给出显式的度规和$F$-形式。
• 运用表示理论和旋量几何，包括Clifford代数作用$c: \Lambda T^*M \to \mathrm{End}(\mathcal{S})$，以定义超协变联络并分析Killing旋量。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有32个超对称性的十一维超引力解允许一个类空等距，生成一个圆或$\mathbb{R}$-作用？
• RQ2 通过Kaluza-Klein约化，这些十一维解约化为十维IIA型超引力的解是什么？
• RQ3 是否存在任何非平坦、最大超对称的十一维解（如AdS或pp-波解）可约化为十维中的最大超对称解？
• RQ4 在IIA型超引力中是否存在唯一一个最大超对称解？其场内容和几何性质是什么？

主要发现

• IIA型超引力中唯一的最大超对称解是平坦时空，且标量场为常数，$(A, H, G)$场为零。
• 十一维中唯一的最大超对称解具有度规$g = 2dx^+dx^- - \left(\sum_{i=1}^3 (x^i)^2 + \frac{1}{4}\sum_{i=4}^9 (x^i)^2\right)(dx^-)^2 + \sum_{i=1}^9 (dx^i)^2$和$F = 3dx^- \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3$。
• 此唯一十一维解的等距群维数为38，同构于$G_A \rtimes (\mathrm{SO}(3) \times \mathrm{SO}(6))$，大于一般情况下的$G_A$。
• 十一维中的AdS型或pp-波解均不具有能保持全部32个超对称性的Killing向量，因此被排除在向IIA型Kaluza-Klein约化的候选解之外。
• 十一维中不可约洛伦兹对称空间的模空间$\mathcal{M}_{11}$为$(S^8 - \Delta)/\mathfrak{S}_7$，且仅有一点$A_*$能产生最大超对称解。