[论文解读] Maximal varieties and the local Langlands correspondence for GL(n)

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文通过构造无限层级 Lubin-Tate 空间中的一个开仿射开子集，其约化在有限域上给出一个极大代数簇，从而在非阿赋马德非阿赋马德局部域上，以纯粹局部的几何方式实现了 GL(n) 的局部 Langlands 对应与 Jacquet-Langlands 对应。该代数簇的上同调实现了由一个无挠的 n 次扩张诱导的 Weil 参数的超临界表示，具有明确的重数一性质，并与 Langlands 对应相容。

ABSTRACT

The cohomology of the Lubin-Tate tower is known to realize the local Langlands correspondence for GL(n) over a nonarchimedean local field. In this article we make progress towards a purely local proof of this fact. To wit, we find a family of open affinoid subsets of Lubin-Tate space at infinite level, whose cohomology realizes the local Langlands correspondence for a broad class of supercuspidals (those whose Weil parameters are induced from an unramified degree n extension). A key role is played by a certain variety X, defined over a finite field, which is "maximal" in the sense that the number of rational points of X is the largest possible among varieties with the same Betti numbers as X. The variety X is derived from a certain unipotent algebraic group, in an analogous manner as Deligne-Lusztig varieties are derived from reductive algebraic groups.

研究动机与目标

• 通过上同调方法，提供 GL(n) 局部 Langlands 对应的纯粹局部证明。
• 构造无限层级 Lubin-Tate 空间中的一个开仿射开子集，其约化在上同调中实现 Langlands 对应。
• 定义并研究一个由幂零群构造的有限域上的特殊代数簇 X，该代数簇在有理点计数意义下是极大的。
• 证明该代数簇的上同调实现了对一大类超临界表示的局部 Langlands 与 Jacquet-Langlands 对应。
• 在无限层级 Lubin-Tate 塔的上同调与幂零群的 Deligne-Lusztig 型代数簇之间建立几何联系。

提出的方法

• 在 K 的代数闭包的完备化上的无限层级 Lubin-Tate 空间中构造一个开仿射开子集 V。
• 研究 V 的约化，其为 F̄_q 上的概形，并证明其为 F_{q^n} 上光滑仿射概形的完美化之并。
• 将 X 定义为在 F_{q^n} 上的幂零群 U 中某个子概形 Y 的 Lang 映射的原像，模仿 Deligne-Lusztig 构造。
• 分析 U(F_{q^n}) 在 X 上的右乘作用，并利用幂零群的结构计算 X 的 ℓ-进上同调。
• 利用邻近上同调复形以及 GL_n(K) × D^× × W_K 在上同调上的作用，将表示与上同调数据联系起来。
• 通过证明由无挠的 n 次扩张诱导的表示在 H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ) 中重数为一，建立重数一结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用全局自守方法的前提下，纯粹局部地实现 GL(n) 的局部 Langlands 对应？
• RQ2 在无限层级 Lubin-Tate 空间中，适当仿射开子集的约化具有怎样的几何结构？
• RQ3 如何从幂零群构造一个有限域上的代数簇，使其在形式上类似于 Deligne-Lusztig 代数簇？
• RQ4 该代数簇的上同调行为如何？它与超临界表示有何关联？
• RQ5 能否通过此类代数簇的上同调几何地实现 Jacquet-Langlands 对应？

主要发现

• 该仿射开子集 V 的约化的上同调实现了由无挠 n 次扩张诱导的 Weil 参数的超临界表示的局部 Langlands 对应。
• 代数簇 X 在其 Betti 数所允许的范围内，其 F_{q^n}- 有理点数达到上界，因此是极大的。
• X 的 ℓ-进上同调分解为 U(F_{q^n}) 的不可约表示的直和，其中 H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ) 是唯一的非平凡上同调群。
• 对于 Weil 参数为 Ind_{L/K}θ 的表示 π，其中 θ 的导子为 m+1 且无法通过范数降低，有 Hom_{GL_n(K)}(π, H^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ)) 非零且为一维。
• GL_n(K) × D^× × W_K 在 H^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ) 上的作用与预期的 Langlands 对应一致，其中 σ^#(π) 与 Jacquet-Langlands 提升的对偶表示通过上同调实现。
• 中间上同调 H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ) 上 U(F_{q^n}) 的作用中，Frobenius 变换的标量作用为 (-1)^{n-1} · q^{n(n-1)/2}。