[论文解读] Maximality of the sum of the subdifferential operator and a maximally monotone operator

Liangjin Yao|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 39被引用 4

一句话总结

本文在满足 Rockafellar 约束条件且和算子 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ 为 (FPV) 类型的条件下，建立了次微分算子与极大单调算子之和的极大单调性。主要贡献在于对 Borwein 和 Yao 在巴拿赫空间中关于次微分算子与极大单调算子之和的开放问题给出了肯定回答，推广了先前结果，并将和问题与更广泛的算子类联系起来。

ABSTRACT

The most important open problem in Monotone Operator Theory concerns the maximal monotonicity of the sum of two maximally monotone operators provided that the classical Rockafellar's constraint qualification holds, which is called the "sum problem". In this paper, we establish the maximal monotonicity of $A+B$ provided that $A$ and $B$ are maximally monotone operators such that $\dom A\cap\inte\dom B eq\varnothing$, and $A+N_{\overline{\dom A}}$ is of type (FPV). This generalizes various current results and also gives an affirmative answer to a problem posed by Borwein and Yao. Moreover, we present an equivalent description of the sum problem.

研究动机与目标

• 通过在特定条件下建立 $ A + B $ 的极大单调性，解决单调算子理论中长期存在的和问题。
• 为 Borwein 和 Yao 关于次微分算子与极大单调算子之和的开放问题提供肯定回答。
• 通过在 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ 上引入 (FPV) 类型条件，推广现有关于单调算子之和的结果。
• 证明和问题等价于在 Rockafellar 约束条件下，对任意闭凸集 $ C $，$ A + N_C $ 的极大单调性。

提出的方法

• 利用 Fitzpatrick 函数 $ F_{A+B} $ 分析和算子的极大单调性。
• 将 (FPV) 性质应用于算子 $ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $，确保与单调性相关的点位于图像中。
• 运用 Banach-Alaoglu 定理与弱*收敛性，从违反极大单调性的序列中导出矛盾。
• 使用法向锥算子 $ N_C $ 与次微分 $ \nabla f $ 建模凸约束与凸函数。
• 依赖于和问题与 $ A + N_C $ 的极大单调性之间的等价性，其中 $ C $ 为闭凸集。
• 结合 Rockafellar、Simons 等人在单调性、约束条件与凸分析方面的结果，推导出主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \text{dom}(\nabla f) \cap \text{int}(\text{dom} B) \neq \varnothing $ 且 $ \nabla f + N_{\bar{\text{dom}}B} $ 为 (FPV) 类型时，和 $ \nabla f + B $ 是否极大单调？
• RQ2 若对每个闭凸集 $ C $，$ A + N_C $ 均为极大单调，是否意味着和问题的一般解成立？
• RQ3 在 Rockafellar 约束条件下，和问题是否可约化为 $ A + N_C $ 的极大单调性问题？
• RQ4 在何种条件下，$ A + N_{\bar{\text{dom}}B} $ 为 (FPV) 类型，从而保证 $ A + B $ 的极大单调性？
• RQ5 在经典约束条件下，次微分算子与极大单调算子之和在巴拿赫空间中是否总是极大单调？

主要发现

• 若 $ A $ 与 $ B $ 均为极大单调算子，且满足 $ \text{dom} A \cap \text{int}(\text{dom} B) \neq \varnothing $，以及 $ A + N_{\overline{\text{dom} B}} $ 为 (FPV) 类型，则和 $ A + B $ 为极大单调。
• 推论 3.4 对 Borwein 和 Yao 的开放问题 4.5 给出了肯定回答：在相同约束条件下，$ \partial f + B $ 为极大单调。
• 和问题等价于：对任意满足 $ \text{dom} A \cap \text{int} C \neq \varnothing $ 的闭凸集 $ C $，$ A + N_C $ 是否为极大单调。
• $ \partial f + N_{\overline{\text{dom} B}} $ 为 (FPV) 类型，因为其等于 $ \partial(f + \iota_{\overline{\text{dom} B}}) $，而后者满足 (FPV) 条件。
• 证明技术依赖于反证法与 Fitzpatrick 函数：若 $ F_{A+B}(z,z^*) = +\infty $，则极大单调性不成立，但在 (FPV) 假设下将导致矛盾。
• 该结果推广了关于线性关系与凸定义域算子的先前定理，表明 (FPV) 条件足以保证和的极大单调性。