[论文解读] Maximally Dense Disc Packings on the Plane

Robert Connelly, Maurice Pierre|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Point processes and geometric inequalities被引用 4

一句话总结

该论文将平面上最大密度圆盘堆积中半径比 $ q $ 的上界从费耶斯·托特的 0.6457 提高至 0.6585，方法是利用费尼奎、哈希米与西佐娃发现的一种新型三圆盘尺寸三角剖分堆积。该方法通过扰动具有三种不同圆盘半径的对称三角剖分堆积，实现高于以往双尺寸堆积的密度，接近弗洛里安的理论密度上限。

ABSTRACT

Suppose one has a collection of disks of various sizes with disjoint interiors, a packing in the plane, and suppose the ratio of the smallest radius divided by the largest radius lies between $1$ and $q$. In his 1964 book Regular Figures (MR0165423), László Fejes Tóth found a series of packings that were his best guess for the maximum density for any $1 > q > 0.2$. Meanwhile Gerd Blind in (MR0275291, MR0377702) proved that for $1 \ge q > 0.72$, the most dense packing possible is $π/\sqrt{12}$, which is when all the disks are the same size. In Regular Figures, the upper bound of the ratio $q$ such that the density of his packings is greater than $π/\sqrt{12}$ that Fejes Tóth found was $0.6457072159...$. Here we improve that upper bound to $0.6585340820...$. Our new packings are based on a perturbation of a triangulated packing that has three distinct sizes of disks, found by Fernique, Hashemi, and Sizova (MR4292755), which is something of a surprise.

研究动机与目标

• 改进非均匀圆盘堆积在半径比 $ q $ 超过六边形晶格密度 $ \pi/\sqrt{12} $ 时的上界。
• 识别并利用一类新型三尺寸不同圆盘的三角剖分堆积，以实现高于以往双尺寸堆积的密度。
• 系统性地探索对称三角剖分堆积的扰动，以逼近弗洛里安对堆积密度的理论上限。
• 对新发现的堆积的对称性群进行分类与分析，以期用于构建更多高密度周期性排列。

提出的方法

• 对已知的三圆盘尺寸三角剖分堆积（来自费尼奎、哈希米与西佐娃）进行扰动，以在保持接触图三角剖分的前提下最大化密度。
• 利用涉及圆盘半径 $ r_1=1 $、$ r_2=p $、$ r_3=q $ 的三角形与菱形面积公式推导几何约束，以确保无重叠及接触条件。
• 应用面积约束方程 $ x(1,q,p)y(1,q,p) = p\sqrt{2p+1} $，以确保扰动过程中蓝色圆盘保持接触。
• 通过平方并简化面积等式，推导出关于 $ p $ 和 $ q $ 的多项式方程，然后提取相关因式以确定有效的半径比。
• 在推导出的约束条件下，计算整体堆积密度 $ \Delta(p,q) = A(p,q)/A_T(p,q) $，其中 $ A(p,q) $ 为总圆盘面积，$ A_T(p,q) $ 为总环面面积。
• 使用符号计算（通过 Wolfram Alpha）展开并因式分解所得的高次多项式，以识别 $ q $ 的有效解曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种最高可能的半径比 $ q $ 下，非均匀圆盘堆积的密度可超过六边形晶格密度 $ \pi/\sqrt{12} $？
• RQ2 具有三种不同尺寸圆盘的三角剖分堆积是否可实现高于已知双尺寸堆积的密度？
• RQ3 扰动后的三角剖分堆积在多大程度上可逼近弗洛里安对堆积密度的理论上限 $ s(q) $？
• RQ4 三圆盘尺寸三角剖分堆积实现了哪些对称性群？这些群是否可用于生成新的高密度排列？

主要发现

• 在密度超过 $ \pi/\sqrt{12} $ 的堆积中，半径比 $ q $ 的上界从 0.6457072159 提高至 0.6585340820。
• 新上界通过三圆盘尺寸三角剖分堆积的扰动实现，这与费耶斯·托特先前基于双尺寸构造的方法有显著不同。
• 新堆积的密度比以往任何构造更接近弗洛里安的理论密度上限 $ s(q) $，尤其当 $ q > 0.65 $ 时。
• 由面积等式导出的约束方程可确保蓝色圆盘在整个扰动过程中保持接触，从而维持堆积的有效性。
• 多项式因式分解揭示了一条由 $ 2p^4 + (4q+3)p^3 + (2q^2 - 2q + 1)p^2 - (5q^2 + 6q)p + q^2 = 0 $ 定义的有效解曲线，该曲线定义了允许的半径比。
• 整体堆积密度 $ \Delta(p,q) $ 计算为总圆盘面积与总环面面积之比，约束条件确保了无重叠与接触条件的满足。