[论文解读] Maximising common fixtures in a round robin tournament with two divisions

Wayne Burrows, Christopher Tuffley|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Scheduling and Timetabling Solutions被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于图论的构造方法，旨在最大化两个联赛中两支俱乐部在循环赛制下同时进行主客场比赛的场次数。通过使用 $K_{2n}$ 的双锥双因子分解，作者实现了 $n \geq 2$ 时理论上的最大值 $2n^2 - 3n + 4$ 场共同比赛，并进一步证明了通过在两个联赛中一致地定向边，可以实现主客场赛程的平衡。

ABSTRACT

We describe a round robin scheduling problem for a competition played in two divisions, motivated by a scheduling problem brought to the second author by a local sports organisation. The first division has teams from 2n clubs, and is played in a double round robin in which the draw for the second round robin is identical to the first. The second division has teams from two additional clubs, and is played as a single round robin during the first 2n+1 rounds of the first division. We will say that two clubs have a **common fixture** if their teams in division one and two are scheduled to play each other in the same round, and show that for n>1 the maximum possible number of common fixtures is 2n^2 - 3n + 4. Our construction of draws achieving this maximum is based on a bipyramidal one-factorisation of K_{2n}, which represents the draw in division one. Moreover, if we additionally require the home and away status of common fixtures to be the same in both divisions, we show that the draw can be chosen to be balanced in all three round robins.

研究动机与目标

• 在第一联赛为双循环赛、第二联赛包含两个额外俱乐部的两联赛循环赛中，最大化相同两支俱乐部在相同轮次进行的比赛场次数（即共同比赛场次）。
• 基于图论提出一种构造性方法，使共同比赛场次达到 $n \geq 2$ 时的理论上限。
• 确保共同比赛的主客场安排在两个联赛中保持一致，从而实现赛程的平衡。
• 通过群作用与边集的轨道分解，将解法推广至小规模情况（如 $n=2$）之外的更一般情形。

提出的方法

• 将第一联赛的抽签建模为完全图 $K_{2n}$ 的双因子分解，基于群 $G = \mathbb{Z}_{2n-2} \rtimes \mathbb{Z}_2$ 的作用构造双锥结构。
• 通过扩展第一联赛的构造，利用大小为 $2n-2$ 的轨道和一个大小为 6 的特殊轨道 $E^G$，在 $K_{2n+2}$ 上构造第二联赛的双因子分解。
• 通过验证所有双因子的并集构成边集的划分，确保两个图中所有边的不相交性与覆盖性。
• 通过在轮次间利用 $\sigma^{r-1}$ 的平移对称性，识别第一联赛双因子分解与第二联赛双因子分解之间的重叠边，从而统计共同比赛场次。
• 通过在 $K_{2n+2}$ 中一致定向边，使得每个顶点的入度与出度之差至多为 1，从而实现主客场赛程平衡，并在共同比赛中保持方向一致性。
• 通过反转 $K_{2n}$ 中轨道 $O_1$ 内边的方向，修正最后两轮的定向不平衡，从而在不破坏共同比赛对齐的前提下保持整体平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在第一联赛有 $2n$ 支俱乐部、第二联赛额外包含两支俱乐部的两联赛循环赛中，最多可有多少场共同比赛？
• RQ2 该最大值是否可通过基于图论双因子分解的对称、结构化构造实现？
• RQ3 是否可能在确保两个联赛赛程平衡的同时，保持共同比赛的主客场安排一致？
• RQ4 双因子分解的结构，特别是群作用下的轨道特性，如何促成最优解的实现？

主要发现

• 对于 $n \geq 2$，共同比赛的最大场次数为 $2n^2 - 3n + 4$，该结果通过构造性上界与匹配构造得到严格证明。
• 该构造基于 $K_{2n}$ 的双锥双因子分解，通过群轨道与 $G$-作用下的边集扩展至 $K_{2n+2}$。
• 当 $n \geq 3$ 时，三个循环赛（第一联赛双循环、第二联赛单循环及整体结构）的赛程均可实现主客场场次的平衡。
• 共同比赛出现在所有轮次：前 $2n-2$ 轮每轮 $n-1$ 场，第 $2n-1$ 轮 $n$ 场，第 $2n$ 和 $2n+1$ 轮各 1 场，总和即为所述最大值。
• 当 $n=2$ 时，由于轨道大小不匹配，该构造失效，需对该情况单独处理。
• 通过反转 $K_{2n}$ 中轨道 $O_1$ 内边的方向，解决了最后两轮的定向不平衡，既保持了整体平衡，又未影响共同比赛的主客场对齐。