[论文解读] Maximization of Approximately Submodular Functions

Thibaut Horel, Yaron Singer|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2024

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 65

一句话总结

本文研究在基数约束下最大化 epsilon-近似子模函数，给出查询复杂度的下界并指出常数因子近似成立的条件。

ABSTRACT

We study the problem of maximizing a function that is approximately submodular under a cardinality constraint. Approximate submodularity implicitly appears in a wide range of applications as in many cases errors in evaluation of a submodular function break submodularity. Say that $F$ is $\varepsilon$-approximately submodular if there exists a submodular function $f$ such that $(1-\varepsilon)f(S) \leq F(S)\leq (1+\varepsilon)f(S)$ for all subsets $S$. We are interested in characterizing the query-complexity of maximizing $F$ subject to a cardinality constraint $k$ as a function of the error level $\varepsilon>0$. We provide both lower and upper bounds: for $\varepsilon>n^{-1/2}$ we show an exponential query-complexity lower bound. In contrast, when $\varepsilon< {1}/{k}$ or under a stronger bounded curvature assumption, we give constant approximation algorithms.

研究动机与目标

• 动机化并形式化在基数约束下最大化 epsilon-近似子模函数的问题。
• 表征一般与特定函数类下查询复杂度与误差水平 ε 的关系。
• 确定在近似子模性下可实现（且紧界）的常数因子近似的条件。

提出的方法

• 通过一个子模代表 f 定义 epsilon-近似子模函数 F，使对所有集合 S 有 (1-ε)f(S) ≤ F(S) ≤ (1+ε)f(S)。
• 给出一般单调子模函数在 ε ≥ n^{-1/2} 时的指数级查询复杂度下界（定理 3），以及覆盖函数在 ε ≥ n^{-1/3} 时的下界（定理 4）。
• 给出正向结果：贪心算法在 ε ≤ δ/k 时达到 (1-1/e - O(δ))（定理 5），并且在有界曲率 c 的情况下，有算法达到 (1-c)( (1-ε)/(1+ε) )^2。
• 说明紧性：当 ε = 1/k 时，贪心算法不保证常数因子近似（命题 6）。
• 将结果推广到基于母集约约束的情形并讨论对噪声模型和 PMAC 学习的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基数约束下最大化 ε-近似子模函数的查询复杂度是多少？
• RQ2 对于较小的 ε 或在如有界曲率等附加结构下，是否存在常数因子近似？
• RQ3 在一般单调子模函数与像覆盖函数这样的结构化类之间，下界和上界有何不同？
• RQ4 ε 相对于 k 的比例对贪心等算法的性能有何影响？
• RQ5 结果可以推广到除基数约束以外的母集约约束吗？

主要发现

• 在一般单调子模情况下，ε ≥ n^{-1/2} 时成立的指数级查询复杂度下界。
• 对于覆盖函数，当 ε ≥ n^{-1/3} 时也成立指数级下界。
• 当 ε ≤ δ/k 时，贪心算法给出常数因子近似（对于任意固定的 δ ∈ (0,1)），比率随着 δ→0 趋近于 1-1/e。
• 在有界曲率 c 下，存在一种算法对任意 ε 都能实现常数近似 (1-c)((1-ε)/(1+ε))^2。
• ε = 1/k 的阈值对于贪心算法在实现常数因子保证方面是紧的（较大 ε 时性能非常数级）。
• 结果推广到母集约约束，常数类似（贪心保证的因子会有相应的缩减）。