[论文解读] Maximizing a Monotone Submodular Function with a Bounded Curvature under a Knapsack Constraint

Yuichi Yoshida|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于在背包约束下最大化单调亚模函数，逼近比为 $1 - c/e - \epsilon$，其中 $c$ 是函数的总曲率。该方法结合了曲率感知的连续贪心方法与函数分解，当曲率较低时，其逼近保证优于经典的 $1 - 1/e$ 边界。

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing a monotone submodular function under a knapsack constraint. We show that, for any fixed $ε> 0$, there exists a polynomial-time algorithm with an approximation ratio $1-c/e-ε$, where $c \in [0,1]$ is the (total) curvature of the input function. This approximation ratio is tight up to $ε$ for any $c \in [0,1]$. To the best of our knowledge, this is the first result for a knapsack constraint that incorporates the curvature to obtain an approximation ratio better than $1-1/e$, which is tight for general submodular functions. As an application of our result, we present a polynomial-time algorithm for the budget allocation problem with an improved approximation ratio.

研究动机与目标

• 开发一种在背包约束下最大化单调亚模函数的多项式时间算法，并获得改进的逼近保证。
• 将亚模函数的曲率 $c_f$ 纳入逼近比中，实现优于标准 $1 - 1/e$ 边界的性能。
• 将基于曲率的逼近结果从基数约束和拟阵约束扩展到更一般的背包约束。
• 将该算法应用于现实世界问题，如预算分配问题，其中曲率天然较低。

提出的方法

• 将输入的单调亚模函数 $f$ 分解为一个亚模函数 $g$ 和一个线性函数 $\ell$，使得 $f = g + \ell$，并利用曲率感知的性质。
• 使用连续贪心算法的变体，同时优化 $g$ 和 $\ell$，在背包约束下保持可行性。
• 应用依赖于曲率的分析，证明若 $g$ 达到 $(1 - 1/e)$-逼近且 $\ell$ 获得全部价值，则 $f$ 可实现 $1 - c_f/e - \epsilon$-逼近。
• 引入基于采样的舍入方案，将连续解转换为满足 $w(S) \leq 1$ 的离散集合 $S$，且期望值 $\mathop{\mathbf{E}}[f(S)] \geq (1 - c_f/e - \epsilon)f(O)$。
• 使用 $1/\epsilon$ 的多对数因子和 $n$（基集大小）的多项式依赖关系来界定运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用单调亚模函数的曲率，在背包约束下实现优于 $1 - 1/e$ 的逼近比？
• RQ2 当曲率已知时，逼近比 $1 - c_f/e$ 对于背包约束是否紧致？
• RQ3 能否将适用于基数约束和拟阵约束的曲率感知算法扩展到更一般的背包设置？
• RQ4 当曲率较小时，预算分配问题是否能实现优于 $1-1/e$ 的逼近？

主要发现

• 所提出的算法对任意 $\epsilon > 0$ 实现了 $1 - c_f/e - \epsilon$ 的逼近比，且对所有 $c_f \in [0,1]$ 在 $\epsilon$ 范围内是紧致的。
• 运行时间为 $O\left(n^5 + n^4 \cdot \mathrm{polylog}(n) \cdot \left(\frac{1}{\epsilon}\right)^{\mathrm{poly}(1/\epsilon)}\right)$，在 $n$ 和 $1/\epsilon$ 上为多项式时间。
• 基于曲率的逼近比 $1 - c_f/e$ 在 $c_f > 0$ 时严格优于 $1 - 1/e$，且与拟阵约束问题的已知下界一致。
• 对于预算分配问题，曲率 $c_f$ 满足 $1 - \min_{a,b} p(a)^{c(a)-1} \prod_{a' \in \Gamma(b) \setminus \{a\}} p(a')^{c(a')}$ 的上界，当概率和容量较小时可实现更优逼近。
• 当函数曲率远离 1 时，该算法在背包约束下的亚模最大化中优于经典的 $1 - 1/e$-逼近。