[论文解读] Maximizing coverage while ensuring fairness: a tale of conflicting objective

Abolfazl Asudeh, Tanya Berger‐Wolf+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2020

Mathematical Approximation and Integration被引用 2

一句话总结

本文提出了一种组合优化框架，通过引入着色约束，同时最大化覆盖范围并确保公平性，以平衡不同颜色元素在所选集合中的分布。该框架提出了随机化和确定性近似算法，在存在冲突目标的情况下，仍能实现至少63%的最优覆盖范围，并将颜色比例保持在常数因子以内。

ABSTRACT

Ensuring fairness in computational problems has emerged as a $key$ topic during recent years, buoyed by considerations for equitable resource distributions and social justice. It $is$ possible to incorporate fairness in computational problems from several perspectives, such as using optimization, game-theoretic or machine learning frameworks. In this paper we address the problem of incorporation of fairness from a $combinatorial$ $optimization$ perspective. We formulate a combinatorial optimization framework, suitable for analysis by researchers in approximation algorithms and related areas, that incorporates fairness in maximum coverage problems as an interplay between $two$ conflicting objectives. Fairness is imposed in coverage by using coloring constraints that $minimizes$ the discrepancies between number of elements of different colors covered by selected sets; this is in contrast to the usual discrepancy minimization problems studied extensively in the literature where (usually two) colors are $not$ given $a$ $priori$ but need to be selected to minimize the maximum color discrepancy of $each$ individual set. Our main results are a set of randomized and deterministic approximation algorithms that attempts to $simultaneously$ approximate both fairness and coverage in this framework.

研究动机与目标

• 制定一种组合优化框架，以平衡集合选择中的最大覆盖与公平性。
• 解决在最大化覆盖与确保所选集合中不同颜色元素的公平分布之间的冲突。
• 开发在着色约束下同时近似两个目标的近似算法。
• 将公平性推广至任意预设的颜色比例，而不仅限于均等比例。
• 在存在冲突目标的情况下，提供关于覆盖与公平性权衡的理论保证。

提出的方法

• 将公平最大覆盖（FMC）问题形式化为包含χ种颜色的问题，其中所选集合必须保持每种颜色的指定比例。
• 通过着色约束实现公平性，以最小化不同颜色覆盖元素数量之间的差异。
• 采用基于线性规划松弛的随机化舍入方法，着色约束中的间隙因子为f。
• 应用迭代舍入和在离散化格点单元上的动态规划，将解近似到最优覆盖范围的(1−ε)倍。
• 使用马尔可夫不等式和并集界进行概率分析，以限制颜色比例偏离目标比例的偏差。
• 引入一种基于膨胀整数格点δ·Z^d的离散化方案，以减少搜索空间，同时保持近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 当两个目标冲突时，能否同时实现集合选择中的最大覆盖与公平性？
• RQ2 在FMC问题中，覆盖和颜色比例性可实现的近似保证是什么？
• RQ3 如何通过着色约束来强制实现不同颜色覆盖元素数量的平衡？
• RQ4 能否设计出高效的FMC近似算法，以同时保持高覆盖度和有界的颜色差异？
• RQ5 该框架能否扩展至非均匀的目标颜色比例和一般子模目标？

主要发现

• 所提出的随机化算法平均可实现至少63%的最优覆盖范围，且在高概率下颜色比例保持在常数因子以内。
• 对于任意常数数量的颜色χ，经过O(log n)轮重复后，该算法以高概率保证达到最优覆盖范围的(1−ε)近似。
• 该框架确保在任意一对颜色之间，所覆盖元素的比例为O(1)，即使在目标冲突的情况下也成立。
• 线性规划松弛在着色约束中存在因子-f的间隙，如何通过线性规划缩小这一间隙仍是待解决的开放问题。
• 该方法在保持公平性的同时，实现了最优覆盖范围的(1−ε)近似，运行时间被限制在O((∆/L)^d 2(L/δ)^d (2^{O(d)}k/ε)^d)。
• 该方法可推广至任意预设的颜色比例q1, q2, ..., qχ，而不仅限于均等分布。