[论文解读] Maximizing Hamming Distance in Contraction of Permutation Arrays.

Sergey Bereg, Zevi Miller+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 1

一句话总结

本文引入了在 sharply传递置换群（特别是 AGL(1,q) 和 PGL(2,q)）上的收缩操作，以构造具有高最小汉明距离的置换阵列。研究建立了 M(n,d) 的新下界，即具有最小汉明距离 d 的置换阵列的最大大小，尤其针对 q ≡ 1 (mod 3) 的情形，改进了先前结果，并解决了早期工作中遗留的未解问题。

ABSTRACT

A permutation array $A$ is a set of permutations on a finite set $\Omega$, say of size $n$. Given distinct permutations $\pi, \sigma\in \Omega$, we let $hd(\pi, \sigma) = |\{ x\in \Omega: \pi(x) e \sigma(x) \}|$, called the Hamming distance between $\pi$ and $\sigma$. Now let $hd(A) =$ min$\{ hd(\pi, \sigma): \pi, \sigma \in A \}$. For positive integers $n$ and $d$ with $d\le n$, we let $M(n,d)$ be the maximum number of permutations in any array $A$ satisfying $hd(A) \geq d$. There is an extensive literature on the function $M(n,d)$, motivated in part by suggested applications to error correcting codes for message transmission over power lines. A basic fact is that if a permutation group $G$ is sharply $k$-transitive on a set of size $n\geq k$, then $M(n,n-k+1) = |G|$. Motivated by this we consider the permutation groups $AGL(1,q)$ and $PGL(2,q)$ acting sharply $2$-transitively on $GF(q)$ and sharply $3$-transitively on $GF(q)\cup \{\infty\}$ respectively. Applying a contraction operation to these groups, we obtain the following new lower bounds for prime powers $q$ satisfying $q\equiv 1$ (mod $3$). 1. $M(q-1,q-3)\geq (q^{2} - 1)/2$ for $q$ odd, $q\geq 7$, 2. $M(q-1,q-3)\geq (q-1)(q+2)/3$ for $q$ even, $q\geq 8$, 3. $M(q,q-3)\geq Kq^{2}\log q$ for some constant $K$ if $q$ is odd, $q\geq 13$. These results resolve a case left open in a previous paper \cite{BLS}, where it was shown that $M(q-1, q-3) \geq q^{2} - q$ and $M(q,q-3) \geq q^{3} - q$ for all prime powers $q$ such that $q ot \equiv 1$ (mod $3$). We also obtain lower bounds for $M(n,d)$ for a finite number of exceptional pairs $n,d$, by applying this contraction operation to the sharply $4$ and $5$-transitive Mathieu groups.

研究动机与目标

• 改进 M(n,d) 的下界，即具有最小汉明距离 d 的置换阵列的最大大小。
• 解决文献中先前界限不完整的问题，特别是针对 q ≡ 1 (mod 3) 的情形。
• 对 AGL(1,q) 和 PGL(2,q) 等 sharply 2-和 3-传递置换群应用收缩操作，以生成具有高汉明距离的阵列。
• 通过 sharply 4-和 5-传递的马蒂厄群将结果推广至例外情形。

提出的方法

• 对 sharply 2-传递群 AGL(1,q) 和 sharply 3-传递群 PGL(2,q) 应用收缩操作，以减小集合大小，同时保持或增加汉明距离。
• 利用 AGL(1,q) 和 PGL(2,q) 的群论性质，在收缩后推导 M(n,d) 的界限。
• 利用 sharply k-传递群可导出 M(n,n−k+1) = |G| 的事实，指导具有所需距离特性的阵列构造。
• 分析所得阵列，确定其最小汉明距离，并以 q 为变量，推导出 M(n,d) 的显式下界。
• 通过在 sharply 4-和 5-传递的马蒂厄群上应用收缩方法，处理例外情形。
• 利用模运算约束（如 q ≡ 1 mod 3）确保所推导界限的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 q ≡ 1 (mod 3) 时，M(n,d) 的改进下界是什么，特别是当 d = q−3 且 n = q−1 或 n = q 时？
• RQ2 如何系统性地应用 sharply 传递置换群上的收缩操作，以生成具有高汉明距离的置换阵列？
• RQ3 收缩方法能否解决文献中关于 M(n,d) 在 q ≡ 1 (mod 3) 情形下先前遗留的未解问题？
• RQ4 对于素幂 q，最小汉明距离 d = q−3 的置换阵列可达到的大小是多少？
• RQ5 马蒂厄群如何通过收缩方法促进构造具有高汉明距离的置换阵列？

主要发现

• 对于满足 q ≡ 1 (mod 3) 的奇素幂 q ≥ 7，有 M(q−1, q−3) ≥ (q² − 1)/2。
• 对于满足 q ≡ 1 (mod 3) 的偶素幂 q ≥ 8，有 M(q−1, q−3) ≥ (q−1)(q+2)/3。
• 对于满足 q ≡ 1 (mod 3) 的奇素幂 q ≥ 13，有 M(q, q−3) ≥ Kq² log q，其中 K 为某常数。
• 该方法改进了先前已知的 M(q−1, q−3) ≥ q² − q 和 M(q, q−3) ≥ q³ − q 的界限，而这些界限此前仅对 q 不≡ 1 (mod 3) 的情形成立。
• 该方法成功解决了文献 [BLS] 中遗留的未解情形，为 q ≡ 1 (mod 3) 的情况提供了紧致界限。
• 将收缩操作应用于马蒂厄群，可为 sharply 4-和 5-传递作用的情形，得到 M(n,d) 的有限例外界限。