[论文解读] Maximizing measures for partially hyperbolic systems with compact center leaves

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文为具有紧致一维中心叶的3-流形上的可访问、动态一致的部分双曲微分同胚建立了二分法：要么存在唯一的熵最大测度且中心李雅普诺夫指数为零（此时系统拓扑共轭于双曲系统的旋转提升），要么存在有限个（大于一个）遍历最大测度，每个测度的中心李雅普诺夫指数非零，且为伯努利系统的有限提升。在$C^1$拓扑下，第二种情况是典型的。

ABSTRACT

We obtain the following dichotomy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-dimensional manifolds having compact center leaves: either there is a unique entropy maximizing measure, this measure has the Bernoulli property and its center Lyapunov exponent is 0 or, there is a finite number of entropy maximizing measures, all of them with nonzero center Lyapunov exponent (at least one with negative exponent and one with positive exponent), that are finite extensions of a Bernoulli system. In the first case of the dichotomy we obtain that the system is topologically conjugated to a rotation extension of a hyperbolic system. This implies that the second case of the dichotomy holds for an open and dense set of diffeomorphisms in the hypothesis of our result. As a consequence we obtain an open set of topologically mixing diffeomorphisms having more than one entropy maximizing measure.

研究动机与目标

• 确定具有紧致一维中心叶的可访问、动态一致的部分双曲微分同胚在3-流形上的熵最大测度的结构与数量。
• 建立此类系统是否存在唯一最大测度或有限多个最大测度，并刻画其动力学性质。
• 研究在$C^1$拓扑下每种情况的典型性，以及当中心指数为零时的拓扑共轭结构。
• 探讨对保守动力系统的影响，特别是关于伯努利性质和中心叶的绝对连续性。

提出的方法

• 利用中心叶的紧致性和一维性，将系统建模为在均匀双曲基上作用的非线性柯西积。
• 应用阿维拉与维亚纳的不变性原理，分析不变测度的李雅普诺夫指数。
• 借鉴阿维拉、维亚纳与威尔金森的思想，使用拓扑共轭技巧，证明中心指数为零意味着系统共轭于双曲系统的旋转提升。
• 利用可访问性和动态一致性，确保中心叶的全局结构具有良好行为。
• 通过变分原理和熵正则性，分析最大测度的遍历与度量性质。
• 利用纽豪斯与杨关于近似共轭与内在遍历性的结果，比较具有唯一最大测度的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有紧致中心叶的可访问、动态一致的部分双曲微分同胚在3-流形上是否都存在唯一的熵最大测度？
• RQ2 若否，此类系统中遍历最大测度的典型数量与结构为何？
• RQ3 在何种条件下熵最大测度是伯努利的，何时是伯努利系统的有限提升？
• RQ4 中心李雅普诺夫指数如何决定最大测度的唯一性或多重性？
• RQ5 在保守情形下，即使中心指数为零且中心叶非绝对连续，光滑不变测度是否仍可能不是伯努利的？

主要发现

• 对于具有紧致一维中心叶的可访问、动态一致的部分双曲微分同胚在3-流形上，要么存在唯一的熵最大测度且中心李雅普诺夫指数为零，要么存在有限个（大于一个）遍历最大测度，且每个测度的中心李雅普诺夫指数非零。
• 当存在唯一最大测度且中心指数为零时，系统拓扑共轭于双曲系统的旋转提升。
• 具有多个遍历最大测度的微分同胚集合在$C^1$拓扑下是开集且稠密的。
• 当唯一最大测度的中心指数为零时，该测度同构于一个伯努利位移。
• 在存在多个最大测度的情形下，每个测度都是伯努利位移的有限提升，且至少有一个测度的中心李雅普诺夫指数为正，另一个为负。
• 在保守情形下，若中心指数为零且中心叶绝对连续，则系统光滑共轭于伯努利系统；若不满足，则测度可能不满足伯努利性质，这在3维情形仍是一个开放问题。