[论文解读] Maximizing Profit with Convex Costs in the Random-order Model

Anupam Gupta, Ruta Mehta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文提出了在随机顺序模型下，针对 d 维资源上凸的、超模的成本函数，实现利润最大化的 O(d)-竞争比随机算法。通过利用凸对偶性和一种新颖的阈值方法，该研究在无约束问题中实现了 O(d) 的竞争比，在拟阵约束设置下实现了 O(d³ log log rank) 的竞争比，优于以往关于可分成本函数的研究，并首次将结果推广至具有可证明保证的非可分超模成本函数。

ABSTRACT

Suppose a set of requests arrives online: each request gives some value $v_i$ if accepted, but requires using some amount of each of $d$ resources. Our cost is a convex function of the vector of total utilization of these $d$ resources. Which requests should be accept to maximize our profit, i.e., the sum of values of the accepted demands, minus the convex cost? We consider this problem in the random-order a.k.a. secretary model, and show an $O(d)$-competitive algorithm for the case where the convex cost function is also supermodular. If the set of accepted demands must also be independent in a given matroid, we give an $O(d^3 α)$-competitive algorithm for the supermodular case, and an improved $O(d^2α)$ if the convex cost function is also separable. Here $α$ is the competitive ratio of the best algorithm for the submodular secretary problem. These extend and improve previous results known for this problem. Our techniques are simple but use powerful ideas from convex duality, which give clean interpretations of existing work, and allow us to give the extensions and improvements.

研究动机与目标

• 解决在随机顺序模型下，请求按顺序到达且决策不可逆的在线利润最大化问题，其成本函数为凸的、超模的。
• 将以往关于可分成本函数的研究结果，推广至更一般的非可分、超模凸成本函数情形。
• 基于凸对偶构建一个系统化的算法框架，以简化并改进现有方法。
• 为无约束和拟阵约束设置下的竞争比提供理论保证，尤其关注超模成本函数的情形。
• 提出一种从超模成本到可分成本的通用约化方法，使得可在损失有界的前提下复用现有算法。

提出的方法

• 利用凸对偶重新解释并简化利润最大化问题的结构，特别是在超模成本函数下。
• 提出一种基于边际值和对偶变量的阈值机制，当项目的单位价值与成本之比超过动态学习的阈值时，接受该项目。
• 采用利润函数的分数松弛形式，并利用集中不等式确保高概率性能保证。
• 应用次模函数的洛瓦斯扩展，将原始超模问题的最优解与可分成本设置下的分数解联系起来。
• 设计一种随机约化方法，结合单秘书问题算法与可分成本算法，通过精心选择的概率平衡探索与利用。
• 利用拟阵多面体的多面体性质，证明在可分设置下表现良好的整数解可近似原始超模设置下的最优解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机顺序模型下，对于非可分、超模凸成本函数的在线利润最大化问题，能否实现常数或多项式对数的竞争比？
• RQ2 当成本函数为超模但不可分时，竞争比如何随维度 d 变化？
• RQ3 能否将适用于可分成本函数的现有算法适配为在超模成本函数下以有界损失运行？
• RQ4 将超模成本函数约化为可分成本函数时，最小损失是多少？该损失如何被算法有效利用？
• RQ5 凸对偶是否提供一个统一的框架，以简化并改进该类在线优化问题的既有算法方法？

主要发现

• 本文首次提出在随机顺序模型下，针对无约束在线利润最大化问题中具有超模凸成本函数的 O(d)-竞争比随机算法。
• 对于具有可分成本函数的拟阵约束情形，本文实现了 O(d² log log rank)-竞争比的算法，优于 Barman 等人（2012）提出的 O(d⁵ log log rank) 上界。
• 对于具有超模成本函数的拟阵约束情形，本文给出了 O(d³ log log rank)-竞争比的算法，该结果通过从超模成本到可分成本的一般约化方法获得。
• 约化方法表明，任何针对可分成本的 β-近似算法，可转化为针对超模成本的 d(β + 2ed)-近似算法，其中损失因子依赖于 d 和 e。
• 分析依赖于凸对偶、集中不等式以及拟阵多面体的多面体性质，以确保高概率性能保证。
• 结果表明，d 维 knapsack 问题的 Ω(d¹⁻ᵝ) 下界在对数因子意义下是紧的，暗示 d 的依赖关系不可避免。