[论文解读] Maximizing the Cohesion is NP-hard

Adrien Friggeri, Éric Fleury|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过将 NP 完全的 Clique 问题约化为一个决策变体 Connected-Cohesive，证明了在无向网络中寻找具有最大凝聚度的顶点子集是 NP-难的。作者证明了最大凝聚度集合必须是连通的，并通过多项式时间变换表明：原图中存在大小为 k 的团，当且仅当在变换后的图中存在一个具有特定凝聚度阈值的连通子集。

ABSTRACT

We show that the problem of finding a set with maximum cohesion in an undirected network is NP-hard.

研究动机与目标

• 确立在无向网络中寻找具有最大凝聚度的集合的计算复杂性。
• 通过证明决策变体 Connected-Cohesive 的 NP-完全性，展示最大化凝聚度问题的 NP-难性。
• 表明任何实现最大凝聚度的集合都必须是连通的，从而将搜索空间限制在连通子集内。
• 提供从 Clique 问题到 Connected-Cohesive 的多项式时间约化，证明决策问题的 NP-完全性。
• 确认由于决策问题为 NP-完全，因此最大化凝聚度的优化问题为 NP-难。

提出的方法

• 将凝聚度在数学上定义为 $ \mathcal{C}(S) = \frac{i(S)^2}{\binom{|S|}{3}(i(S) + o(S))} $，其中 $ i(S) $ 表示子集 $ S $ 内部的三角形数量，$ o(S) $ 表示子集 $ S $ 的外部三角形数量。
• 通过基于不连通子集与其并集之间凝聚度比较的反证法，证明任何最大凝聚度集合都必须是连通的。
• 引入决策问题 Connected-Cohesive：给定图 $ G $ 和阈值 $ \lambda $，是否存在一个连通子集 $ S $ 满足 $ \mathcal{C}(S) \geq \lambda $？
• 通过向非边添加大团的方式，构造从 Clique 问题实例到 Connected-Cohesive 问题实例的多项式时间变换。
• 利用该变换表明：原图中存在大小为 $ k $ 的团，当且仅当在变换后的图 $ G' $ 中存在一个凝聚度为 $ \lambda = \frac{{k\choose 3}}{{k\choose 3} + {k\choose 2}(n-k)} $ 的连通子集。
• 通过从 Clique 问题的约化，证明 Connected-Cohesive 属于 NP 且为 NP-难，因此为 NP-完全。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无向图中寻找具有最大凝聚度的顶点子集的问题是否具有计算可解性？
• RQ2 在不损失最优性的情况下，是否可以将最大凝聚度集合限制在连通子集内？
• RQ3 判断是否存在一个凝聚度至少为 $ \lambda $ 的连通子集的决策问题是否为 NP-完全？
• RQ4 是否可以将 Clique 问题在多项式时间内约化为 Connected-Cohesive 决策问题？
• RQ5 Connected-Cohesive 的 NP-完全性是否意味着最大化凝聚度的优化问题为 NP-难？

主要发现

• 在无向网络中寻找具有最大凝聚度的集合的问题是 NP-难的，因为其决策变体 Connected-Cohesive 是 NP-完全的。
• 任何实现最大凝聚度的集合都必须是连通的，这使得可以将搜索范围限制在连通子集内。
• 决策问题 Connected-Cohesive 是 NP-完全的，通过从 Clique 问题（GT19）的多项式时间约化得到证明。
• 原图 $ G $ 中存在大小为 $ k $ 的团，当且仅当在变换后的图 $ G' $ 中存在一个凝聚度为 $ \lambda = \frac{{k\choose 3}}{{k\choose 3} + {k\choose 2}(n-k)} $ 的连通子集。
• 从 Clique 到 Connected-Cohesive 的变换在多项式时间内完成，确认了凝聚度最大化问题的 NP-难性。
• 该结果意味着在一般情况下，对社交网络和复杂网络中的凝聚度进行优化是计算上不可行的。