[论文解读] Maximum Cliques in Graphs with Small Intersection Number and Random Intersection Graphs

Sotiris Nikoletseas, Christoforos Raptopoulos+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于在标签数量为顶点数的多项式函数且标签选择概率较小时，求解随机交集图中的最大团。关键贡献是提出了单标签团定理，证明了在高概率下，大型团由单一标签形成，从而可通过标签分析实现高效的团检测。

ABSTRACT

In this paper, we relate the problem of finding a maximum clique to the intersection number of the input graph (i.e. the minimum number of cliques needed to edge cover the graph). In particular, we consider the maximum clique problem for graphs with small intersection number and random intersection graphs (a model in which each one of $m$ labels is chosen independently with probability $p$ by each one of $n$ vertices, and there are edges between any vertices with overlaps in the labels chosen). We first present a simple algorithm which, on input $G$ finds a maximum clique in $O(2^{2^m + O(m)} + n^2 \min\{2^m, n\})$ time steps, where $m$ is an upper bound on the intersection number and $n$ is the number of vertices. Consequently, when $m \leq \ln{\ln{n}}$ the running time of this algorithm is polynomial. We then consider random instances of the random intersection graphs model as input graphs. As our main contribution, we prove that, when the number of labels is not too large ($m=n^α, 0< α<1$), we can use the label choices of the vertices to find a maximum clique in polynomial time whp. The proof of correctness for this algorithm relies on our Single Label Clique Theorem, which roughly states that whp a "large enough" clique cannot be formed by more than one label. This theorem generalizes and strengthens other related results in the state of the art, but also broadens the range of values considered. As an important consequence of our Single Label Clique Theorem, we prove that the problem of inferring the complete information of label choices for each vertex from the resulting random intersection graph (i.e. the \emph{label representation of the graph}) is \emph{solvable} whp. Finding efficient algorithms for constructing such a label representation is left as an interesting open problem for future research.

研究动机与目标

• 通过聚焦于交集数较小的图来解决一般图中最大团问题的难解性。
• 为计算随机交集图中的最大团开发高效算法，该模型与现实世界网络密切相关。
• 确立在高概率下可多项式时间求解最大团的条件。
• 证明在随机交集图中，大型团通常由单一标签形成，从而实现基于标签的团检测。
• 证明图的标签表示可从图结构中以高概率唯一重构。

提出的方法

• 提出一种暴力枚举算法，枚举所有大小不超过 2^m 的团子集，利用对交集数的上界 m。
• 使用切尔诺夫不等式建立随机交集图中标签度数和顶点标签集合大小的集中性。
• 提出单标签团定理，证明当 mp² = O(1) 时，大小接近 np 的团由超过一个标签形成的概率极低。
• 采用概率分析来界定多标签团出现的概率，表明在给定参数范围内此类团极为罕见。
• 应用最大似然估计方法，从未知图结构中重构顶点的标签集合，并证明重构结果以高概率唯一。
• 分析随机交集图模型 G_{n,m,p}，其中 m = n^α，0 < α < 1，且 p 满足 mp² = O(1)，以推导团的结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机交集图中的最大团可多项式时间求解？
• RQ2 能否证明随机交集图中的大型团主要由单一标签形成？
• RQ3 随机交集图的标签表示是否可从图结构中以高概率唯一重构？
• RQ4 交集数如何影响最大团问题的可解性？
• RQ5 当 m = n^α 且 mp² = O(1) 时，随机交集图中最大团的渐近大小是多少？

主要发现

• 当交集数 m 满足 m ≤ ln ln n 时，所提算法运行时间为多项式时间。
• 对于满足 m = n^α (0 < α < 1) 且 mp² = O(1) 的随机交集图，最大团可以高概率在多项式时间内求得。
• 在 m = n^α 且 mp² = O(1) 条件下，G_{n,m,p} 中最大团的大小渐近为 np。
• 单标签团定理表明，以高概率，不存在由超过一个标签形成的大型团，从而支持基于标签的高效团检测。
• 使用最大似然估计，可从图结构中以高概率唯一重构图的标签表示。
• 在 mp = ω(ln n) 的参数范围内，G_{n,m,p} 的色数为 Ω(nmp² / ln n)，表明图远非完美图，与所研究参数范围下的团结构形成鲜明对比。