[论文解读] Maximum Flow and Minimum-Cost Flow in Almost-Linear Time

Li Chen, Rasmus Kyng+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2022

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 12

一句话总结

本文提出了首个在容量、费用和需求多项式有界的有向图中，以近乎线性时间计算精确最大流和最小费用流的算法。通过利用一种新颖的动态图数据结构，该结构以摊销 $m^{o(1)}$ 时间维护近似无向最小比率环，算法实现了总运行时间 $m^{1+o(1)}$，并扩展至一般凸目标函数的高精度解，包括 $p$-范数流、熵正则化最优传输和矩阵缩放。

ABSTRACT

We give an algorithm that computes exact maximum flows and minimum-cost flows on directed graphs with $m$ edges and polynomially bounded integral demands, costs, and capacities in $m^{1+o(1)}$ time. Our algorithm builds the flow through a sequence of $m^{1+o(1)}$ approximate undirected minimum-ratio cycles, each of which is computed and processed in amortized $m^{o(1)}$ time using a new dynamic graph data structure. Our framework extends to algorithms running in $m^{1+o(1)}$ time for computing flows that minimize general edge-separable convex functions to high accuracy. This gives almost-linear time algorithms for several problems including entropy-regularized optimal transport, matrix scaling, $p$-norm flows, and $p$-norm isotonic regression on arbitrary directed acyclic graphs.

研究动机与目标

• 设计一种确定性、近乎线性时间的算法，用于在容量、费用和需求多项式有界的有向图中计算精确最大流与最小费用流。
• 将该算法扩展至一般边可分凸目标函数的高精度解，包括 $p$-范数流与熵正则化最优传输。
• 通过结合内点法与支持高效环检测与更新的动态图数据结构，克服先前方法的局限性。
• 实现 $m^{1+o(1)}$ 时间复杂度，适用于一大类流问题，显著优于数十年来的旧有界。

提出的方法

• 该算法通过一系列 $m^{1+o(1)}$ 个近似无向最小比率环计算流，每个环均使用动态图数据结构维护。
• 提出一种新的动态图数据结构，用于维护低伸展分解与稀疏化核心图，实现每个环计算的摊销 $m^{o(1)}$ 时间。
• 该框架使用带自洽障碍函数的内点法（IPMs），将有向流问题转化为无向问题。
• 通过重建游戏策略，动态维护增量图中的生成树与嵌入，确保稳定性和效率。
• 通过验证在给定参数界下障碍函数中海森矩阵项保持准多项式有界，支持一般凸目标函数。
• 通过树链结构与路径嵌入，维持环的质量与路由界，确保每个环使解改进常数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在容量、费用和需求多项式有界的有向图中，以 $m^{1+o(1)}$ 时间计算精确最大流与最小费用流？
• RQ2 该框架能否扩展至一般凸目标函数（如 $p$-范数流与熵正则化最优传输）的高精度解？
• RQ3 动态图数据结构能否在边删除与更新下，以摊销 $m^{o(1)}$ 时间维护近似最小比率环？
• RQ4 内点法如何适配稀疏化、增量图结构，以高效求解流问题？
• RQ5 能否通过流形式化，使该算法在矩阵缩放与最优传输问题中实现近乎线性时间复杂度？

主要发现

• 本文实现了在容量、费用和需求多项式有界的有向图中，精确最大流与最小费用流的 $m^{1+o(1)}$ 时间算法。
• 该算法在有向无环图上以 $m^{1+o(1)}$ 时间计算出高精度的 $p$-范数流解，精度与现有最佳算法相当。
• 对于熵正则化最优传输与矩阵缩放问题，该算法在 $m^{1+o(1)}$ 时间内计算出距离最优值不超过 $\exp(-\log^C m)$ 的解，其中任意常数 $C>0$。
• 动态数据结构以摊销 $m^{o(1)}$ 时间每操作维护近似最小比率环，从而实现整体 $m^{1+o(1)}$ 运行时间。
• 通过验证自洽障碍函数中海森矩阵项保持准多项式有界，该框架支持一般边可分凸目标函数。
• 该算法首次实现矩阵缩放的近乎线性时间解，时间复杂度为 $\mathsf{nnz}(\mathbf{A})^{1+o(1)}$，适用于多项式有界元素的矩阵。