[论文解读] Maximum Inverse Sum Indeg Index of Trees and Unicyclic Graphs with Fixed Diameter

Sunilkumar M. Hosamani|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2026

Graph theory and applications被引用 0

一句话总结

该论文在给定直径下确定树和单环图的最大ISI（逆和入度）键合相关度指数，识别极值结构并通过图变换给出证明。

ABSTRACT

The bond incident degree (BID) index of a graph \(G\) is defined as \(\BID(G) = \sum_{u_1u_2\in E(G)} f(d(u_1), d(u_2))\), where \(f(x,y)=f(y,x)\) is a real-valued function. In this paper, using graph transformation methods, we establish the maximum bond incident degree indices of trees and unicyclic graphs with a fixed diameter for the inverse sum indeg (ISI) index. The ISI index corresponds to the function \(f(x,y) = \frac{xy}{x+y}\). We prove that for trees \(T \in \mathbb{T}_{n,d}\) with \(d \geq 3\) and \(n \geq d+3\), the maximum ISI index is attained by the tree \(T_{n,d}^*\). For unicyclic graphs, we characterize the extremal graphs for diameters \(d=2\), \(d=3\), and \(d \geq 4\). Specifically, the maximum ISI index is achieved by \(S_n^+\) for \(d=2\), by \(C_n^*\) for \(d=3\), and by \(\mathcal{U}_{n,d}\) for \(d \geq 4\).

研究动机与目标

• 在Bond Incident Degree (BID) 指数框架内动机研究ISI指标。
• 刻画在固定直径下实现ISI最大值的树的极值结构。
• 刻画在直径d=2、d=3和d≥4时实现ISI最大值的单环图的极值结构。
• 验证ISI函数在极值性所需条件框架下的成立性（注意不等式方向）。
• 为识别出的图给出闭式极值ISI表达式。

提出的方法

• 采用图变换方法和充分条件框架，在固定直径下比较BID指数。
• 定义特殊树与单环构造（如T_{n,d}^i、T_{n,d}^*、S_n^+、C_n^*、U_{n,d}），并通过边-度贡献分析ISI。
• 利用路径提升变换（Su引理）来证明在某些移动下BID/ISI的提升。
• 通过分类讨论和对潜在非极值构型的矛盾来证明极值性。
• 通过f(x,y)=xy/(x+y)推导候选极值图的明确ISI值。

实验结果

研究问题

• RQ1 给定n和直径d（d≥3，n≥d+3），在T_{n,d}中哪些树达到ISI最大？
• RQ2 在U_{n,d}中哪些单环图在固定直径下最大ISI，这些极值如何随d的取值（d=2、d=3、d≥4）而变化？
• RQ3 ISI极值图是否与BID指数的充分条件框架一致，ISI应如何调整不等式方向？
• RQ4 在固定直径下，识别出的极值图的闭式ISI值是多少？

主要发现

• 对于d≥3且n≥d+3的树，最大ISI由T_{n,d}^{*}取得。
• 在直径d=2、3以及≥4的单环图中，最大ISI图分别是S_n^+（d=2）、C_n^*（d=3）和U_{n,d}（d≥4）。
• 论文给出这些极值结构的显式ISI表达式，例如ISI(T)≤ISI(T_{n,d}^{*})并给出具体公式，以及文本中给出的ISI(S_n^{+})/ISI(C_n^{*})/ISI(U_{n,d})的表达。
• ISI函数f(x,y)=xy/(x+y)满足分析所需的单调性/凸性性质，但与一般BID框架的某些不等式方向相反，从而在翻转变换下仍得到相同的极值图。
• 对极值图在固定直径下的极值性进行了全面验证，结合单环类别的详细案例分析，与预测结构相符。