[论文解读] Maximum likelihood degree of Fermat hypersurfaces via Euler characteristics

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文使用拓扑方法，通过 $F_{n,d} \setminus \mathcal{H}$ 的带符号欧拉特征，计算了射影空间 $\mathbb{P}^n$ 中的费马超曲面 $F_{n,d} = \{x_0^d + \cdots + x_n^d = 0\}$ 的最大似然度（MLD）。关键结果以组合常数 $\beta_{\mu,\nu}$ 表达 MLD，其中 $\beta_{\mu,\nu}$ 计数满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $z_1 + \cdots + z_\mu + 1 = 0$ 的复解；当 $d-1$ 为素数幂时，推导出其闭式表达。

ABSTRACT

Maximum likelihood degree of a projective variety is the number of critical points of a general likelihood function. In this note, we compute the Maximum likelihood degree of Fermat hypersurfaces. We give a formula of the Maximum likelihood degree in terms of the constants $β_{μ, ν}$, which is defined to be the number of complex solutions to the system of equations $z_1^ν=z_2^ν=\cdots=z_μ^ν=1$ and $z_1+\cdots +z_μ+1=0$.

研究动机与目标

• 系统计算费马超曲面 $F_{n,d}$ 的最大似然度（MLD），克服以往逐案处理方法的局限性。
• 通过米尔诺数理论计算修正项，解决一般 MLD 公式中非横截相交的问题。
• 建立 MLD 的拓扑公式，以 $F_{n,d} \setminus \mathcal{H}$ 的欧拉特征表示，利用胡的结论：对光滑代数簇，MLD 等于其带符号欧拉特征。
• 为 $\beta_{\mu,\nu}$ 提供显式公式，即满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $z_1 + \cdots + z_\mu + 1 = 0$ 的复解数量，尤其当 $d-1$ 为素数幂时。
• 通过常数 $\alpha_{\mu,\nu}$（定义为满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $z_1 + \cdots + z_\mu = 0$ 的解）将 MLD 计算与数论及组合结构联系起来。

提出的方法

• 利用胡的定理：对光滑射影簇，MLD 等于带符号欧拉特征 $(-1)^n \chi(F_{n,d} \setminus \mathcal{H})$。
• 应用容斥原理，将 $\chi(F_{n,d} \setminus \mathcal{H})$ 表示为对 $\mathcal{H}$ 中超平面交集的求和，索引来自指标集 $\Lambda = \{0,\dots,n, +\}$ 的子集。
• 使用米尔诺理论分析交集 $F_{n,d} \cap H_{\Lambda'}$ 的奇点，表明每个孤立奇点的米尔诺数等于 $\beta_{\mu,\nu}$ 所计数的解数。
• 依赖米尔诺的结果：在孤立超曲面奇点处，欧拉阻碍为 $(-1)^{\dim} (\mu + 1)$，其中 $\mu$ 为米尔诺数。
• 当 $\nu = p^r$ 为素数幂时，将组合常数 $\beta_{\mu,\nu}$ 转化为对称群作用与多项式系数。
• 利用关系式 $\beta_{\mu,\nu} = \frac{1}{\nu} \alpha_{\mu+1,\nu}$ 将问题重述为对满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $\sum z_i = 0$ 的对称解的计数，从而实现基于群的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 费马超曲面 $F_{n,d} \subset \mathbb{P}^n$（由 $x_0^d + \cdots + x_n^d = 0$ 定义）的最大似然度是多少？
• RQ2 当一般公式 [CHKS] 因非横截相交而失效时，如何系统地计算 MLD？
• RQ3 由 $F_{n,d}$ 与坐标超平面及和超平面相交所产生的奇点的精确拓扑贡献是什么？
• RQ4 在什么条件下 $\beta_{\mu,\nu} \neq 0$？当 $\nu = p^r$ 时，能否为 $\beta_{\mu,\nu}$ 推导出闭式表达？
• RQ5 当 $\nu$ 为素数幂时，能否用多项式系数表达常数 $\alpha_{\mu,\nu}$（即满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $\sum z_i = 0$ 的解数）？

主要发现

• 费马超曲面 $F_{n,d}$ 的最大似然度为 $\operatorname{MLdeg}(F_{n,d}) = \sum_{k=1}^n d^k - \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n+1}{j} \beta_{n-j,d-1}$，其中 $\beta_{\mu,\nu}$ 计数满足 $z_1^\nu = \cdots = z_\mu^\nu = 1$ 与 $z_1 + \cdots + z_\mu + 1 = 0$ 的复解。
• 当 $d=2$ 时，MLD 为 $\operatorname{MLdeg}(F_{n,2}) = 2^{n+1} - 2$，与已知结果一致。
• 当 $n=2$ 时，$F_{2,d}$ 的 MLD 依赖于 $d \mod 6$：若 $d \equiv 0,2 \pmod{6}$，则为 $d^2 + d$；若 $d \equiv 3,5 \pmod{6}$，则为 $d^2 + d - 3$；若 $d \equiv 4 \pmod{6}$，则为 $d^2 + d - 2$；若 $d \equiv 1 \pmod{6}$，则为 $d^2 + d - 5$。
• 当 $d-1 = p^r$ 为素数幂时，MLD 具有包含多项式系数的闭式公式：$\operatorname{MLdeg}(F_{n,d}) = \sum_{k=1}^n d^k - \frac{1}{d-1} \sum \frac{(n+1)!}{(n+1 - p(s_1+\cdots+s_k))! \cdot \prod_{i=1}^k (s_i!)^p}$，其中求和范围为非负整数 $s_1,\dots,s_k$ 满足 $\sum s_i \leq \frac{n+1}{p}$ 且 $k = \frac{d-1}{p}$。
• $\beta_{\mu,\nu}$ 在 $\nu = p^r$ 且 $\mu+1$ 不被 $p$ 整除时为零；当可被整除时，其值由多项式系数之和给出。
• 非零性 $\alpha_{\mu,\nu}$（从而 $\beta_{\mu,\nu}$）由兰与刘给出刻画：$\alpha_{\mu,\nu} \neq 0$ 当且仅当 $\mu$ 属于 $\nu$ 的素因子生成的半群。