研究动机与目标

提出的方法

通过向 MLE $\widehat{P}$ 添加一个微小的平滑参数 $u$，构造平滑估计量 $\widetilde{P}$，确保即使在未观测到的状态下，转移概率也不为零。
对 $\widehat{P}$ 和 $\widetilde{P}$ 均应用自助百分位法，为单个转移概率构建 90% 的置信区间。
通过模拟研究（每种条件重复 1,000 次），使用两个不同的真实转移矩阵 ($P_I$ 和 $P_{II}$)，评估在不同样本大小（$n=25,50,100$）和平滑参数（$u=0.5,1.0,2.0,\infty$）下的覆盖性能。
通过中心极限定理推导 MLE 的渐近正态性，证明 $\sqrt{n}(\widehat{P}_{v,n} - P_v) \xrightarrow{w} N(0, \Sigma_P)$，其中 $\Sigma_P$ 由克罗内克 delta 结构定义。
使用向量化形式 $P_v = \text{vec}(P)$ 分析所有 $d^2$ 个转移概率的联合渐近分布。
通过在 $n=500,1000,10,000$ 时对模拟矩阵进行直接计算，验证 $\widehat{P}$ 和 $\widetilde{P}$ 均具有 $O(n^{-0.5})$ 的收敛速率。

在 $n=25$ 时，$u=0.5$ 的平滑自助法对 $P_{II}$ 中的 $P_{11}$ 和 $P_{12}$ 实现了 99.6% 的经验覆盖，显著高于名义上的 90%。
在 $n=25$ 时，标准自助法（$u=\infty$）对 $P_{II}$ 中的 $P_{11}$ 仅实现 53.0% 的覆盖，表明存在严重的覆盖不足。
在所有测试条件下，$u=0.5$ 的平滑自助法均保持覆盖超过 90%，其中最高覆盖（99.6%）出现在 $n=25$ 且 $P_{II}$ 的情况下。
当平滑参数 $u$ 从 0.5 增加到 2.0 时，覆盖性能从约 90% 下降至约 80%，表明更高的 $u$ 值会降低区间精度。
在 $n=100$ 时，$u=0.5$ 的平滑自助法对 $P_I$ 中的 $P_{11}$ 和 $P_{12}$ 分别实现 92.0% 和 92.9% 的覆盖，而标准自助法分别实现 87.0% 和 89.1% 的覆盖。
模拟结果扩展至 $n=1,000,000$ 确认，$\widehat{P}$ 和 $\widetilde{P}$ 均以 $O(n^{-0.5})$ 速率收敛，支持理论上的渐近正态性。