[论文解读] Maximum likelihood estimators for the extreme value index based on the block maxima method

Clément Dombry|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2013

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文在仅假设一阶极值条件的最弱前提下，为块最大值法中极值指数和归一化常数的最大似然估计量（MLEs）建立了理论基础，证明了其存在性与一致性，而无需假设块最大值恰好服从广义极值（GEV）分布。

ABSTRACT

The maximum likelihood method offers a standard way to estimate the three parameters of a generalized extreme value (GEV) distribution. Combined with the block maxima method, it is often used in practice to assess the extreme value index and normalization constants of a distribution satisfying a first order extreme value condition, assuming implicitely that the block maxima are exactly GEV distributed. This is unsatisfactory since the GEV distribution is a good approximation of the block maxima distribution only for blocks of large size. The purpose of this paper is to provide a theoretical basis for this methodology. Under a first order extreme value condition only, we prove the existence and consistency of the maximum likelihood estimators for the extreme value index and normalization constants within the framework of the block maxima method.

研究动机与目标

• 为了证明尽管块最大值法依赖于块最大值恰好服从 GEV 分布的假设，为何最大似然估计在实践中仍被广泛使用。
• 在比精确 GEV 分布假设更弱的条件下，建立极值指数和归一化常数 MLE 的存在性与一致性。
• 解决文献中的理论缺口：通常 MLE 在精确 GEV 假设下被证明成立，但实践中块最大值仅近似服从 GEV 分布。

提出的方法

• 通过将 i.i.d. 观测值划分为大小为 m 的块，并定义块最大值 M_{k,m}，应用块最大值法。
• 对广义极值（GEV）分布的三个参数（形状 γ、位置 μ、尺度 σ）应用最大似然法进行估计。
• 采用 GEV 分布的对数似然函数 ℓ_{(γ,μ,σ)}(x) = ℓ_γ((x−μ)/σ) − log σ。
• 依赖于一阶极值条件 F ∈ D(G_γ)，并使用从均值超额函数 U(t) = (1/(1−F))^{←}(t) 的逆函数导出的归一化常数 a_m 和 b_m。
• 应用 Potter 不等式与正常变函数理论，控制归一化最大值的行为，并推导出一致可积性。
• 通过引入 α_n 的截断方法，并应用矩不等式，证明紧致性与依概率收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当块最大值仅在满足一阶极值条件时近似服从 GEV 分布，极值指数的 MLE 是否仍保持一致性？
• RQ2 在块最大值并非精确服从 GEV 分布的更弱假设下，能否为 GEV 分布的标准 MLE 框架提供理论依据？
• RQ3 在仅满足吸引域条件时，极值指数和归一化常数 MLE 的存在性与一致性需满足何种条件？
• RQ4 归一化常数的选择如何影响在满足一阶极值条件时 MLE 的渐近行为？
• RQ5 在满足一阶极值条件时，极值指数的 MLE 是否具有一致可积性？

主要发现

• 在满足一阶极值条件 F ∈ D(G_γ) 的前提下，极值指数 γ 和归一化常数的 MLE 被证明存在且一致，且无需假设块最大值恰好服从 GEV 分布。
• 该一致性对所有 γ₀ > -1 成立，扩展了以往要求 γ₀ > -1/2 才能保证渐近正态性的结果。
• 通过涉及截断和广义逆函数 U(t) 的 Potter 不等式，证明了 MLE 的一致可积性。
• 对于 γ₀ > 0 和 γ₀ < 0，利用正常变函数的 Potter 不等式控制归一化最大值的尾部行为，确保可积性。
• 对于 γ₀ = 0，采用归一化最大值的对数近似，并证明在 ε ∈ (0, 1/p) 时具有可积性。
• 条件 lim_{n→∞} m(n)/log n = ∞ 确保了所需的依概率收敛，验证了 MLE 的渐近行为。