[论文解读] Maximum-Likelihood Network Reconstruction for SIS Processes is NP-Hard

Bastian Prasse, Piet Van Mieghem|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了在已知感染率和治愈率的情况下，连续时间SIS流行病过程的最大似然网络重构问题仍是NP难的。通过将已知的NP完全问题——最大割问题，多项式时间归约到SIS网络重构问题，作者表明：从病毒状态观测中推断真实网络拓扑在计算上是不可行的，对于任意连通图均成立。

ABSTRACT

The knowledge of the network topology is imperative to precisely describing the viral dynamics of an SIS epidemic process. In scenarios for which the network topology is unknown, one resorts to reconstructing the network from observing the viral state trace. This work focusses on the impact of the viral state observations on the computational complexity of the resulting network reconstruction problem. We propose a novel method of constructing a specific class of viral state traces from which the inference of the presence or absence of links is either easy or difficult. In particular, we use this construction to prove that the maximum-likelihood SIS network reconstruction is NP-hard. The NP-hardness holds for any adjacency matrix of a graph which is connected.

研究动机与目标

• 确定在观测到病毒状态轨迹的前提下，SIS流行病过程中最大似然（ML）网络重构的计算复杂度。
• 研究SIS过程的最大似然估计问题是否具有可解性或计算上困难。
• 建立SIS网络重构与已知NP难问题之间的正式联系。
• 证明无论图的结构如何，最大似然网络重构问题对所有连通图均保持NP难。

提出的方法

• 构建了一类特定的病毒状态轨迹，从中可以推断网络中边的存在或缺失。
• 使用从最大割问题——一个已知的NP完全问题——到最大似然SIS网络重构问题的多项式时间归约。
• 证明求解最大似然估计问题等价于求解一个零一无约束二次规划（UQP），而该问题为NP难。
• 通过将对数似然目标函数形式进行正式变换，使其在特定参数设置下与UQP形式等价。
• 应用渐近分析和参数调优（例如，转移次数和概率）以确保最大似然解与最大割问题的解一致。
• 利用引理证明最大似然估计必须保留所构建轨迹中已知的边状态，从而将问题简化为对边子集的核心优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 SIS过程的最大似然网络重构问题在计算上是否可行？
• RQ2 SIS网络重构问题能否归约为已知的NP难问题？
• RQ3 SIS重构的NP难性是否对所有连通图均成立？
• RQ4 SIS重构中的对数似然目标函数与零一无约束二次规划（UQP）公式之间存在何种关系？
• RQ5 能否设计一种病毒状态轨迹，使得求解最大似然重构等价于求解最大割问题？

主要发现

• 对于任意连通邻接矩阵，最大似然SIS网络重构问题是NP难的。
• 通过将最大割问题多项式时间归约到最大似然估计问题，确立了其NP难性。
• SIS重构问题中的对数似然目标函数可被构造为与零一无约束二次规划（UQP）等价，而UQP是NP难的。
• 只要底层图是连通的，该归约对图的具体结构不敏感。
• 当病毒状态轨迹被适当地构建时，最大似然估计问题的解必须满足与最大割问题相同的约束条件。
• 即使已知感染率和治愈率，且网络为无向无权图，计算不可行性依然存在。