[论文解读] Maximum likelihood quantum state tomography is inadmissible

Christopher Ferrie, Robin Blume-Kohout|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文表明，在量子态层析成像中，最大似然估计（MLE）在常见的精度度量标准下是非可容许的，如保真度、均方误差（希尔伯特-施密特距离）和相对熵。通过证明报告纯态的估计器在几乎所有情况下均被避免纯态的‘对冲’估计器严格超越，作者证明了MLE在几乎所有情况下都是次优的，尽管其广泛应用且具有坚实的统计基础。

ABSTRACT

Maximum likelihood estimation (MLE) is the most common approach to quantum state tomography. In this letter, we investigate whether it is also optimal in any sense. We show that MLE is an inadmissible estimator for most of the commonly used metrics of accuracy, i.e., some other estimator is more accurate for every true state. MLE is inadmissible for fidelity, mean squared error (squared Hilbert-Schmidt distance), and relative entropy. We prove that almost any estimator that can report both pure states and mixed states is inadmissible. This includes MLE, compressed sensing (nuclear-norm regularized) estimators, and constrained least squares. We provide simple examples to illustrate why reporting pure states is suboptimal even when the true state is itself pure, and why "hedging" away from pure states generically improves performance.

研究动机与目标

• 研究在标准精度度量下，最大似然估计（MLE）在量子态层析成像中是否最优。
• 确定报告纯态的估计器是否可被其他估计器严格超越。
• 在统计决策理论中建立MLE及类似估计器非可容许的条件。
• 通过解析与数值示例证明，避免纯态可提升估计精度。

提出的方法

• 作者使用统计决策理论，基于保真度、希尔伯特-施密特距离和相对熵度量的风险函数评估估计器。
• 他们构建了一种‘对冲’估计器，通过向最大混合态引入微小扰动，系统性地避免纯态。
• 针对具有四个泡利测量的自旋-1/2模型（rebit），他们解析计算了希尔伯特-施密特风险，并比较MLE与对冲估计器。
• 他们将分析扩展至包含全部三个泡利测量的完整qubit模型，覆盖不同样本量（N=10至100）。
• 将风险差按N缩放，以实现跨样本量的比较，并沿对称轴（Z轴和(1,1,1)轴）绘制结果。
• 他们证明：若两个不同的纯态均与数据一致，则任何报告这两个纯态的估计器在指定度量下均为非可容许的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准量子态层析成像误差度量下，最大似然估计是否可容许？
• RQ2 是否存在一种估计器，其报告纯态的表现可被另一估计器在所有真实量子态下严格超越？
• RQ3 MLE及相关方法中报告纯态的习惯是否导致次优性能？
• RQ4 向最大混合态引入简单扰动是否能普遍提升估计精度？
• RQ5 是否存在解析或数值条件，使得MLE在一般情况下虽非可容许，但在特定条件下仍可容许？

主要发现

• 在保真度度量下，MLE是非可容许的，意味着存在另一种估计器，其在所有真实量子态下表现均更优。
• 该非可容许性同样适用于均方误差（平方希尔伯特-施密特距离）和相对熵度量。
• 一种避免纯态的对冲估计器，在所有测试样本量（N=4至100）下均持续优于MLE和约束最小二乘估计器。
• 对于N=4次测量的rebit模型，对冲估计器在所有位置均降低了希尔伯特-施密特风险，且在r=(0,1)处通过解析计算得到验证。
• 在所有N下，缩放后的风险差保持为正，表明对冲估计器在布洛赫球的Z轴和(1,1,1)轴上均占优。
• 若两个不同的纯态均与数据一致，则任何可报告这两个纯态的估计器，在所研究的三种度量下均为非可容许的。