[论文解读] Maximum Matching in Two, Three, and a Few More Passes Over Graph Streams

Elena Grigorescu, Morteza Monemizadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文证明了Crouch和Stubbs（2014）的流式算法变体在图流中对最大带权匹配实现了紧致的近似比$3.5+\varepsilon$，通过将最优匹配分解为若干类别，并利用一种新颖的分摊论证方法，控制在对边流进行多轮遍历时的损失。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating a maximum weighted matching, when the edges of an underlying weighted graph $G(V,E)$ are revealed in a streaming fashion. We analyze a variant of the previously best-known $(4+ε)$-approximation algorithm due to Crouch and Stubbs (APPROX, 2014), and prove their conjecture that it achieves a tight approximation factor of $3.5+ε$. The algorithm splits the stream into substreams on which it runs a greedy maximum matching algorithm. At the end of the stream, the selected edges are given as input to an optimal maximum weighted matching algorithm. To analyze the approximation guarantee, we develop a novel charging argument in which we decompose the edges of a maximum weighted matching of $G$ into a few natural classes, and then charge them separately to the edges of the matching output by our algorithm.

研究动机与目标

• 解决Crouch和Stubbs（2014）提出的猜想，即其算法在图流中最大带权匹配问题上可实现$3.5+\varepsilon$的近似比。
• 通过分析多轮贪心方法的性能，深化对带权匹配流式算法近似保证的理解。
• 提出一种新的分摊论证方法，将最优匹配中的边划分为不同类别，并将其分摊至算法输出匹配中的边。
• 通过证明该近似因子的紧致性，表明在相同算法框架下无法获得更优的比值。
• 分析该算法在两轮、三轮及更多轮遍历下的行为，扩展了先前关于流式匹配近似结果的研究。

提出的方法

• 该算法在多轮中处理边流，将每轮划分为若干子流，以应用贪心的最大匹配选择策略。
• 在每个子流中，算法通过优先选择权重较高的边来维护一个贪心匹配。
• 所有轮次结束后，将选中的边输入一个最优最大带权匹配算法，以生成最终输出。
• 引入一种新颖的分摊论证方法，根据最优匹配中边与算法所选边之间的关系，将最优匹配中的边划分为不同类别。
• 对每类最优边，将其分摊至算法输出匹配中的边，并利用图的结构特性和边权属性推导出上界。
• 分析利用了这样一个事实：最优匹配中的边可被划分为若干组，使得每组对总权重的贡献相对于输出匹配的总权重至多为一个常数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 Crouch和Stubbs（2014）的算法是否在图流中最大带权匹配问题上实现了紧致的$3.5+\varepsilon$近似比？
• RQ2 能否构建一种改进的分摊论证方法，将最优匹配分解为若干类别，使其相对于算法输出匹配的权重可被控制？
• RQ3 该多轮贪心算法框架所能达到的最佳近似比是多少？
• RQ4 与单轮遍历相比，对流进行多轮遍历如何提升近似保证？
• RQ5 该$3.5+\varepsilon$因子是否为紧致的，或者通过修改算法或分析能否进一步改进？

主要发现

• 该算法在图流中最大带权匹配问题上实现了$(3.5+\varepsilon)$-近似，证实了Crouch和Stubbs的猜想。
• 该近似因子是紧致的，意味着在相同算法框架和假设下无法获得更优的比值。
• 新颖的分摊论证方法成功地将最优匹配分解为若干可相对于输出匹配进行有界控制的类别，从而实现了精确分析。
• 该方法可推广至两轮、三轮及更多轮遍历，表明额外的轮次以可控方式改善了近似比。
• 分析表明，子流中贪心选择策略与后续通过最优匹配算法进行后处理相结合，可提供强有力的理论保证。
• 该结果优于此前已知的$(4+\varepsilon)$-近似，显著缩小了与带权匹配流式近似最优解之间的差距。