[论文解读] Maximum matching width: new characterizations and a fast algorithm for dominating set

Jisu Jeong, Sigve Hortemo Sæther+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过树中子树交集的方式，提出了一种最大匹配宽（mm-width）的新表征方法，统一了树宽和支宽的节点与边聚焦特性。该文提出了一种基于 mm-width $ k $ 的 $ O^*(8^k) $ 攻击集算法，当 $ ext{tw}(G) > 1.549 imes ext{mmw}(G) $ 时，该算法优于 $ O^*(3^{ ext{tw}}) $ 算法，为某些图类提供了更优的指数时间复杂度界。

ABSTRACT

We give alternative definitions for maximum matching width, e.g. a graph $G$ has $\operatorname{mmw}(G) \leq k$ if and only if it is a subgraph of a chordal graph $H$ and for every maximal clique $X$ of $H$ there exists $A,B,C \subseteq X$ with $A \cup B \cup C=X$ and $|A|,|B|,|C| \leq k$ such that any subset of $X$ that is a minimal separator of $H$ is a subset of either $A, B$ or $C$. Treewidth and branchwidth have alternative definitions through intersections of subtrees, where treewidth focuses on nodes and branchwidth focuses on edges. We show that mm-width combines both aspects, focusing on nodes and on edges. Based on this we prove that given a graph $G$ and a branch decomposition of mm-width $k$ we can solve Dominating Set in time $O^*({8^k})$, thereby beating $O^*(3^{\operatorname{tw}(G)})$ whenever $\operatorname{tw}(G) > \log_3{8} imes k \approx 1.893 k$. Note that $\operatorname{mmw}(G) \leq \operatorname{tw}(G)+1 \leq 3 \operatorname{mmw}(G)$ and these inequalities are tight. Given only the graph $G$ and using the best known algorithms to find decompositions, maximum matching width will be better for solving Dominating Set whenever $\operatorname{tw}(G) > 1.549 imes \operatorname{mmw}(G)$.

研究动机与目标

• 提出一种新的最大匹配宽（mm-width）表征方式，统一树宽与支宽的节点与边聚焦特性。
• 设计一种基于 mm-width 为参数的更快固定参数可满足（FPT）攻击集算法。
• 证明在 $ \text{tw}(G) > 1.549 \cdot \text{mmw}(G) $ 的图中，mm-width 可为攻击集问题提供优于树宽的指数时间性能。

提出的方法

• 通过树表示定义 mm-width，其中每个顶点对应一个子树，宽度由任意节点或边所共享的子树最大数量限定。
• 引入一种替代表征：图 $ G $ 满足 $ \text{mmw}(G) \leq k $ 当且仅当它是弦图 $ H $ 的子图，其中 $ H $ 的每个最大团 $ X $ 被划分为三个大小不超过 $ k $ 的集合 $ A, B, C $，且 $ H $ 的所有最小分离集均包含于 $ A, B, C $ 中的某一个。
• 在 mm-width 为 $ k $ 的分支分解上使用动态规划，通过大小为 $ |A|, |B|, |C| \leq k $ 的顶点子集上的函数追踪支配状态。
• 应用快速子集卷积技术高效计算状态转移，将运行时间界为 $ O^*(8^k) $。
• 利用二分图中唯一最小点覆盖的单调性性质，推导出新的表征方式。
• 证明 mm-width 在 FPT 意义下与树宽和支宽等价，但对某些图族具有更紧的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过树中子树交集来表征 mm-width，从而结合树宽与支宽的节点与边约束？
• RQ2 在 $ \text{tw}(G) > 1.549 \cdot \text{mmw}(G) $ 的图中，mm-width 是否能提供比树宽更快的攻击集算法？
• RQ3 是否存在一种基于弦图超图与团划分的 mm-width 结构化表征，能够捕捉最小分离集？
• RQ4 该新表征能否用于在 FPT 时间内计算 mm-width 分解？
• RQ5 mm-width 的动态规划框架能否推广至其他 $ (\sigma, \rho) $-问题？

主要发现

• 本文证明了 $ \text{mmw}(G) \leq \text{tw}(G) + 1 \leq 3 \cdot \text{mmw}(G) $，且界是紧致的，表明 mm-width 是一个稳健的参数。
• 提出了 mm-width 的新表征：$ G $ 满足 $ \text{mmw}(G) \leq k $ 当且仅当它是弦图 $ H $ 的子图，其中 $ H $ 的每个最大团 $ X $ 被划分为三个大小不超过 $ k $ 的子集 $ A, B, C $，且 $ H $ 的所有最小分离集均包含于 $ A, B, C $ 中的某一个。
• 通过 mm-width 分支分解，实现了 $ O^*(8^k) $ 的攻击集算法，当 $ \text{tw}(G) > \log_3 8 \cdot k \approx 1.893k $ 时，优于 $ O^*(3^{\text{tw}}) $ 算法。
• 当仅给出图 $ G $ 时，总运行时间为 $ O^*(2^{9 \cdot \text{mmw}(G)}) $，当 $ \text{tw}(G) > 1.549 \cdot \text{mmw}(G) $ 时，优于基于树宽近似值的 $ O^*(3^{3.666 \cdot \text{tw}(G)}) $ 界。
• 该算法使用基于 $ A, B, C \subseteq X $ 的状态函数，运行时间界为 $ O^*(2^{3k}) $，由于子集大小的约束，最终达到 $ O^*(8^k) $。
• 基于树的子树表示表明，mm-width 统一了树宽与支宽的节点与边聚焦特性，为图参数提供了一个统一的视角。