[论文解读] Maximum norm error estimates for the finite element approximation of parabolic problems on smooth domains

Takahito Kashiwabara, Tomoya Kemmochi|arXiv (Cornell University)|May 3, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 5

一句话总结

本论文为在光滑（可能非凸）域上带有非齐次诺伊曼边界条件的抛物问题的有限元方法建立了最大范数误差估计。通过用多边形域 $\Omega_h$ 近似光滑域 $\Omega$，作者导出了一个 $L^\infty$ 误差估计，显示即使对于高阶有限元，收敛率仍为 $O(h^2|\log h|)$，这是由于对称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ 不趋于零所致。分析引入了边界的一个管状邻域以处理域逼近误差，并将离散平滑性和最大正则性性质作为推论建立。

ABSTRACT

In this paper, we consider the finite element approximation for a parabolic problem on a smooth domain $Ω\subset \mathbb{R}^N$ with the inhomogeneous Neumann boundary condition. We emphasize that the domain can be non-convex in general. We implement the finite element method for this problem by constructing a family of polygonal or polyhedral domains $\{ Ω_h \}_h$ that approximate the original domain $Ω$. The main result of this study is the $L^\infty$-error estimate for this approximation. We shall show that the convergence rate is not optimal for higher order elements since the symmetric difference $Ω\bigtriangleup Ω_h$ is not empty in general. In order to address the effect of the symmetric difference of domains, we introduce the tubular neighborhood of the original boundary $\partialΩ$. We will also present a slightly new approach to establish the $L^\infty$-error estimate. Moreover, we present the smoothing property for the discrete parabolic semigroup and the spatially discretized maximal regularity as corollaries of the main result.

研究动机与目标

• 为在光滑（可能非凸）域上抛物问题的有限元逼近建立 $L^\infty$ 误差估计。
• 分析通过多边形子域 $\Omega_h$ 进行域逼近对最大范数中收敛率的影响。
• 为半离散有限元格式建立离散平滑性和最大正则性性质。
• 利用边界的一个管状邻域研究对称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ 的影响。

提出的方法

• 构造一族多边形或多面体域 $\{\Omega_h\}$，通过在 $\partial\Omega$ 上放置顶点来逼近光滑域 $\Omega$。
• 使用满足形状正则性和准均匀性的三角剖分 $\mathcal{T}_h$ 对 $\Omega_h$ 进行划分，以定义 $P^k$-有限元空间 $V_h \subset H^1(\Omega_h)$。
• 通过使用扩展数据 $\tilde{f}$、$\tilde{g}$ 和初始数据 $u_{h,0}$，建立半离散有限元格式 (1.2)。
• 引入 $\partial\Omega$ 的一个管状邻域，以量化和控制由对称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ 引入的误差。
• 采用一种新颖的方法进行 $L^\infty$ 误差估计，基于格林函数分析与抛物二进制分解。
• 将主要误差估计的推论导出为离散平滑性和最大正则性估计 (1.5) 与 (1.6)。

实验结果

研究问题

• RQ1 当域通过多边形子域近似时，抛物问题有限元逼近在光滑域上的最优 $L^\infty$ 收敛率是多少？
• RQ2 对称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ 如何影响 $L^\infty$ 误差估计，特别是对高阶有限元而言？
• RQ3 在存在非零边界薄层（边界皮肤层）的域逼近下，是否可以建立离散抛物半群和离散最大正则性性质？
• RQ4 边界 $\partial\Omega$ 的管状邻域在最大范数中量化域逼近误差方面起到多大作用？
• RQ5 是否可以在不假设 $\Omega_h = \Omega$ 的前提下导出 $L^\infty$ 误差估计？其对应的收敛率是多少？

主要发现

• 半离散有限元格式的 $L^\infty$ 误差估计为 $\|\tilde{u} - u_h\|_{L^\infty(Q_{h,T})} \leq C h^{k+1} |\log h|^{\underline{k}} \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{k+1,\infty}(\Omega))} + C h^2 |\log h| \left(\|u_t\|_{L^\infty(Q_T)} + \|u\|_{L^\infty(0,T;W^{2,\infty}(\Omega))}\right)$，其中 $\underline{k} = 1$ 当 $k=1$ 时，否则为 $0$。
• 即使对于高阶单元，收敛率仍被限制在 $O(h^2 |\log h|)$，这是由于对称差 $\Omega \triangle \Omega_h$ 不趋于零，从而阻止了最优的 $O(h^{k+1})$ 收敛率。
• 离散抛物半群满足平滑估计 $\|u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} + t\|\partial_t u_h(t)\|_{L^q(\Omega_h)} \leq C e^{-ct} \|u_{h,0}\|_{L^q(\Omega_h)}$，对所有 $t > 0$ 和 $q \in [1, \infty]$ 成立，且在零强迫和边界条件下成立。
• 当初始和边界数据为零时，离散最大正则性估计 $\|A_h u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} + \|\partial_t u_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))} \leq C \|f_h\|_{L^p(0,T;L^q(\Omega_h))}$ 对所有 $p,q \in (1,\infty)$ 成立。
• 边界皮肤层的影响被视作一个扰动，从而在离散设置中恢复了标准的平滑性和最大正则性估计。
• 分析严格处理了在域逼近存在时格林函数及其时间导数的非光滑性，从而在 $L^p$ 空间中得到了可积性和有界性结果。