[论文解读] Maximum nullity and zero forcing number on cubic graphs

Saieed Akbari, Ebrahim Vatandoost+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Graph theory and applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文表征了零 forcing 数为 3 的立方图，并证明在此类图中，最大零度等于 3。文章引入了一类立方图，其最大零度与零 forcing 数均为 4，并提出了一种将最大零度与生成树中叶节点数关联的算法。该研究推进了识别满足 M(G) = Z(G) 的图这一开放问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph. The maximum nullity of $G$, denoted by $M(G)$, is defined to be the largest possible nullity over all real symmetric matrices $A$ whose $a_{ij} eq 0$ for $i eq j$, whenever two vertices $u_i$ and $u_j$ of $G$ are adjacent. In this paper, we characterize all cubic graphs with zero forcing number $3$. As a corollary, it is shown that if the zero forcing number is $3$, then $M(G)=3$. In addition, we introduce a family of cubic graphs containing graphs $G$ with $M(G)=Z(G)=4$. Also, we provide an algorithm which make a relation between maximum nullity of $G$ and the number of leaves in a spanning tree of $G$.

研究动机与目标

• 表征所有零 forcing 数为 3 的立方图。
• 建立立方图的最大零度与生成树中叶节点数之间的联系。
• 提供一类满足 M(G) = Z(G) = 4 的立方图族。
• 为识别满足 M(G) = Z(G) 的图这一开放问题做出贡献。
• 挑战并提供对猜想 1.2（立方图中零 forcing 数的界）的反例。

提出的方法

• 使用零 forcing 过程：一个黑色顶点若恰好有一个白色邻居，则将其强制变为黑色，重复此过程直至无法再改变。
• 在立方图中识别大小为 3 的零 forcing 集，并表征可容纳此类集合的图。
• 应用颜色变换规则推导零 forcing 数 Z(G)，并将其与立方图的结构特性关联。
• 从图的结构构造生成树，并利用叶节点数来界定最大零度。
• 运用谱图论，通过特征值推导最大零度的下界。
• 以 Heawood 图为案例研究，验证已知立方图中 M(G) = Z(G)。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些立方图的零 forcing 数为 3？
• RQ2 对于零 forcing 数为 3 的立方图，是否满足 M(G) = 3？
• RQ3 能否构造一类立方图，使得 M(G) = Z(G) = 4？
• RQ4 立方图的生成树中叶节点数是否可作为 M(G) 的界？
• RQ5 猜想 1.2（对于连通立方图，Z(G) ≤ n/3 + 2）是否成立，或可找到反例？

主要发现

• 本文完全表征了所有零 forcing 数为 3 的立方图。
• 对于零 forcing 数为 3 的立方图，证明了 M(G) = 3，确认了该类图中 M(G) = Z(G)。
• 构造了一类满足 M(G) = Z(G) = 4 的立方图族。
• 提出了对猜想 1.2 的反例：一个阶数为 16 的立方图，其 Z(G) = 8，超过 n/3 + 2 = 16/3 + 2 ≈ 7.33。
• 开发了一种算法，将最大零度 M(G) 与图 G 的生成树中叶节点数关联。
• 证明了 Heawood 图满足 M(G) = Z(G)，支持了 M(G) = Z(G) 在某些立方图中成立的更广泛猜想。