[论文解读] Maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base and polynomial subsequences

Damien Jamet, Pierre Popoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文建立了Zeckendorf进制下数位和函数这一morphic序列的最大阶复杂度的下界，并证明其多项式子序列能保持较高的最大阶复杂度——与Thue–Morse序列类似。结果表明，尽管此类序列并非自动序列，其仍具有高度不可预测性，因此作为抗密码学伪随机序列具有极强潜力，因其在多项式稀释下仍保持稳健的复杂度。

ABSTRACT

Automatic sequences are not suitable sequences for cryptographic applications since both their subword complexity and their expansion complexity are small, and their correlation measure of order 2 is large. These sequences are highly predictable despite having a large maximum order complexity. However, recent results show that polynomial subsequences of automatic sequences, such as the Thue--Morse sequence, are better candidates for pseudorandom sequences. A natural generalization of automatic sequences are morphic sequences, given by a fixed point of a prolongeable morphism that is not necessarily uniform. In this paper we prove a lower bound for the maximum order complexity of the sum of digits function in Zeckendorf base which is an example of a morphic sequence. We also prove that the polynomial subsequences of this sequence keep large maximum order complexity, such as the Thue--Morse sequence.

研究动机与目标

• 分析Zeckendorf进制下数位和函数的最大阶复杂度，该函数为morphic序列。
• 研究该序列的多项式索引子序列是否保持较高的最大阶复杂度。
• 将该序列的复杂度行为与已知的伪随机序列（如Thue–Morse序列）进行比较。
• 探讨最大阶复杂度函数中步长比值的收敛性等结构与数值模式。
• 提供理论与计算证据，表明morphic序列及其稀释形式是密码学伪随机序列的强有力候选。

提出的方法

• 作者定义并计算了第$N$项的最大阶复杂度$M(\mathcal{S}, N)$，即生成序列前$N$项所需的最短反馈移位寄存器长度。
• 应用DAWG（有向无环加权图）算法，以线性时间与空间高效计算最大阶复杂度。
• 分析Zeckendorf进制下数位和函数及其沿多项式索引（如平方、立方）的子序列的最大阶复杂度行为。
• 利用高性能计算集群（yeti）进行计算实验，将复杂度计算至$10^9$项，观察步长模式及步长比值的收敛性。
• 提出关于最大阶复杂度函数中相邻步长比值渐近收敛至常数（如2和黄金分割比$\varphi$）的猜想。
• 将结果与已知序列（如Thue–Morse序列和apwenian序列）进行比较，以定位其复杂度行为特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 Zeckendorf进制下数位和函数是否表现出随$N$增长的非平凡最大阶复杂度下界？
• RQ2 该morphic序列的多项式子序列是否保持较大的最大阶复杂度，类似于Thue–Morse序列？
• RQ3 是否存在基于结构或记数系统的解释，说明最大阶复杂度函数中步长比值的观测收敛性？
• RQ4 与自动序列相比，该序列的最大阶复杂度在可预测性与密码学适用性方面表现如何？
• RQ5 最大阶复杂度的步长函数是否能揭示与记数系统（如Zeckendorf进制中的黄金分割比）相关的更深层模式？

主要发现

• Zeckendorf进制下数位和函数的最大阶复杂度随$N$增长，确立了非平凡的下界。
• 该序列的多项式子序列（如平方和立方索引子序列）保持了较大的最大阶复杂度，表明其具有强伪随机性。
• Zeckendorf数位和序列的最大阶复杂度函数中，相邻步长的比值似乎收敛于黄金分割比$\varphi \approx 1.618$。
• 对于类似Thue–Morse的序列，相邻步长的比值收敛于2，表明该行为可能与记数系统相关，而非自动性本身。
• 计算证据已覆盖至$10^9$项，支持步长比值收敛的猜想，但需进一步计算以更清晰地确认趋势。
• 结果表明，morphic序列及其多项式稀释形式在最大阶复杂度方面比自动序列更具鲁棒性，因此作为密码学应用的候选更优。