[论文解读] Maximum Principle and Data Assimilation Problem for the Optimal Control Problems Governed by 2D Nonlocal Cahn-Hillard-Navier-Stokes Equations

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文通过Ekeland变分原理，为由二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程控制的最优控制问题建立了Pontryagin最大值原理，推导出一阶必要最优性条件。此外，还提出了一个数据同化问题，利用最优控制技术恢复未知的初始数据，其中最优初始控制由时间零时的负伴随状态表征。

ABSTRACT

We study some optimal control problems associated to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two-dimensional bounded domain. The Cahn- Hilliard-Navier-Stokes model consists of a Navier-Stokes equation governing the fluid velocity field coupled with a convective Cahn-Hilliard equation for the relative concentration of one of the fluids. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard- Navier-Stokes equations. We establish the first-order necessary conditions of optimality by proving the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such system via the seminal Ekeland variational principle. The optimal control is characterized using the adjoint variable. We also study an another control problem which is similar to data assimilation problems in meteorology of obtaining unknown initial data. Considering the same underlying system as above we establish the optimal initial data in terms of the corresponding adjoint variable.

研究动机与目标

• 为由二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程控制的分布式最优控制问题建立一阶必要最优性条件。
• 应用Ekeland变分原理，为这一类非局部、非线性、耦合的PDE系统推导Pontryagin最大值原理。
• 制定并分析一个数据同化问题，利用最优控制技术恢复同一系统中未知的初始数据。
• 将最优初始控制表征为时间零时伴随状态的相反数。
• 证明伴随系统解的存在性与正则性，确保最优性条件的适定性。

提出的方法

• 制定一个分布式最优控制问题，通过最小化一个代价泛函，受非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统约束，其中非对称、非局部的相互作用通过卷积核 $\mathrm{J}$ 描述。
• 应用Ekeland变分原理，以Pontryagin最大值原理的形式推导出一阶必要最优性条件。
• 引入一个伴随系统，由速度和浓度方程对应的伴随变量 $\mathbf{p}$ 和 $\eta$ 的时间反向PDE组成。
• 建立伴随解的正则性：$\mathbf{p} \in \mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$ 且 $\eta \in \mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$，确保强解的存在。
• 利用能量估计和Grönwall不等式，控制伴随变量并证明其在时间上的连续性与可积性。
• 将最优初始控制表征为 $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$，其中 $\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$，从而将控制与伴随状态在时间零的初始值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统的分布式最优控制，其一阶必要最优性条件是什么？
• RQ2 如何将Ekeland变分原理应用于推导这一类非局部、耦合、非线性PDE系统的最大值原理？
• RQ3 能否利用最优控制技术恢复该系统的初始数据，这与流体动力学中的数据同化有何关联？
• RQ4 与最优控制问题相关的伴随系统的正则性与结构如何？
• RQ5 最优初始控制如何用时间零时的伴随状态表征？

主要发现

• 通过Ekeland变分原理，严格建立了二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程最优控制的Pontryagin最大值原理。
• 最优控制被表征为 $\mathrm{U}^* = -\mathbf{p}(0)$，其中 $\mathbf{p}$ 是伴随系统解，且 $\mathbf{p}(0) \in \mathbb{V}_{\text{div}}$。
• 伴随状态 $\mathbf{p}$ 属于 $\mathrm{C}([0,T];\mathbb{V}_{\text{div}}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathbb{H}^2)$，$\eta$ 属于 $\mathrm{C}([0,T];\mathrm{V}) \cap \mathrm{L}^2(0,T;\mathrm{H}^2)$，确保了强正则性。
• 利用能量估计和Grönwall不等式证明，伴随变量在时间上一致有界，其界依赖于状态变量的正则性及核 $\mathrm{J}$。
• 数据同化问题被表述为一个最优控制问题，以恢复未知的初始数据，最优初始控制由 $t=0$ 时的伴随状态导出。
• 分析确认了伴随系统的适定性，以及唯一最优控制三元组 $ (\mathbf{u}^*, \varphi^*, \mathrm{U}^*) \in \mathscr{A}_{\text{ad}} $ 的存在性。