[论文解读] Maximum principles and monotonicity of solutions for fractional p-equations in unbounded domains

Zhao Liu, Wenxiong Chen|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 40被引用 6

一句话总结

本文在无界区域上建立了分数阶 p-Laplacian 方程的最大值原理，且无需对解的渐近行为作假设。通过引入处理该算子非线性和非局部性的新方法，作者利用滑动法证明了解的单调性和唯一性，与以往针对线性或局部算子的研究相比，显著弱化了对非线性项 f 和区域 Ω 的条件要求。

ABSTRACT

In this paper, we consider the following non-linear equations in unbounded domains $Ω$ with exterior Dirichlet condition: \begin{equation*}\begin{cases} (-Δ)_p^s u(x)=f(u(x)), & x\inΩ,\\ u(x)>0, &x\inΩ,\\ u(x)\leq0, &x\in \mathbb{R}^n\setminus Ω, \end{cases}\end{equation*} where $(-Δ)_p^s$ is the fractional p-Laplacian defined as \begin{equation} (-Δ)_p^s u(x)=C_{n,s,p}P.V.\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}[u(x)-u(y)]}{|x-y|^{n+s p}}dy \label{0} \end{equation} with $0

研究动机与目标

• 在无界区域中为分数阶 p-Laplacian 方程建立最大值原理，且无需假设解在无穷远处的渐近行为。
• 分析解在远离边界区域的渐近行为，即在无界区域中解在 |x| → ∞ 时的行为。
• 为完全非线性、非局部的分数阶 p-Laplacian 算子开发一种定制化的滑动方法。
• 在对 f 和区域 Ω 的假设尽可能弱的条件下，证明正解的单调性与唯一性。
• 将现有针对线性或局部算子的方法推广至分数阶 p-Laplacian 的完全非线性、非局部设定中。

提出的方法

• 通过沿近似最大值点序列估计分数阶 p-Laplacian 定义中的奇异积分，以证明最大值原理。
• 使用霍普夫引理的一种变体作为关键的边界估计，以处理非局部算子中的退化性。
• 引入具有紧台集的 Φ 的扰动函数 εₖΦ 以正则化解，并控制非局部积分。
• 应用分数阶 p-Laplacian 的比较原理，通过比较解来推导单调性。
• 开发一种适配分数阶 p-Laplacian 非局部、非线性结构的滑动方法，以证明对称性与唯一性。
• 利用 G(t) = |t|^{p-2}t 函数的结构及均值定理估计，控制积分核中的非线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不假设解在无穷远处衰减或行为的前提下，为无界区域中的分数阶 p-Laplacian 建立最大值原理？
• RQ2 如何将滑动法适配于完全非线性、非局部的分数阶 p-Laplacian 算子？
• RQ3 为确保解的单调性与唯一性，对非线性项 f 和区域 Ω 的条件应满足何种必要与充分条件？
• RQ4 与现有针对线性或局部算子的结果相比，对 f 和 Ω 的假设可被弱化到何种程度？
• RQ5 当 |x| → ∞ 时，分数阶 p-Laplacian 方程的解在无界区域中的渐近行为如何？

主要发现

• 在无界区域中，为分数阶 p-Laplacian 建立了新的最大值原理，且无需对解在无穷远处的渐近行为作任何假设。
• 证明了解在无穷远处衰减至零，即使事先未假设这种衰减行为。
• 成功为分数阶 p-Laplacian 开发了滑动方法，从而实现了对解的单调性与唯一性的证明。
• 证明了分数阶 p-Laplacian 的比较原理：若在区域外有 u ≥ v，且在区域内有 (-Δ)ₚˢu ≥ (-Δ)ₚˢv，则在整个区域中 u ≥ v。
• 若在任意内点有 u = v，则几乎处处有 u = v 在 ℝⁿ 中成立，表明具有强唯一性。
• 与以往针对线性或局部算子的研究相比，该方法显著弱化了对 f 和 Ω 的条件要求，从而大幅扩展了其在非线性、非局部问题中的适用范围。