[论文解读] Maximum principles for a fully nonlinear fractional order equation and symmetry of solutions

Wenxiong Chen, Congming Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文为涉及一般函数 $ G $ 的完全非线性非局部算子建立了最大原理，包括狭窄区域原理和无穷远处衰减性，使得移动平面法能够证明分数阶方程解的径向对称性和单调性。此外，还表明当 $ \alpha \to 2 $ 时，该算子收敛于带有 Hessian 和梯度平方项的二阶椭圆型算子。

ABSTRACT

In this paper, we consider equations involving fully nonlinear nonlocal operators $$F_α(u(x)) \equiv C_{n,α} PV \int_{\mathbb{R}^n} \frac{G(u(x)-u(z))}{|x-z|^{n+α}} dz= f(x,u).$$ We prove a maximum principle and obtain key ingredients for carrying on the method of moving planes, such as narrow region principle and decay at infinity. Then we establish radial symmetry and monotonicity for positive solutions to Dirichlet problems associated to such fully nonlinear fractional order equations in a unit ball and in the whole space, as well as non-existence of solutions on a half space. We believe that the methods develop here can be applied to a variety of problems involving fully nonlinear nonlocal operators. We also investigate the limit of this operator as $α ightarrow 2$ and show that $$F_α(u(x)) ightarrow a(-Δu(x)) + b |\bigtriangledown u(x)|^2 .$$

研究动机与目标

• 开发用于完全非线性非局部算子 $ F_\alpha $ 的直接分析工具，这些算子缺乏已知的扩展方法或积分方程等价形式。
• 为反对称函数建立最大原理，并确立移动平面法的关键要素——狭窄区域原理和无穷远处衰减性。
• 证明单位球内及 $ \mathbb{R}^n $ 中正解的径向对称性和单调性，以及在半空间中的非存在性。
• 研究当 $ \alpha \to 2 $ 时 $ F_\alpha(u) $ 的极限行为，表明其收敛于一个局部二阶PDE。

提出的方法

• 在 $ G $ 满足条件（包括 $ G(0) = 0 $，$ G \in C^1 $，且 $ G'(t) \geq c_0 > 0 $）下证明一个简单的最大原理。
• 为反对称函数 $ w_\lambda $ 建立无穷远处衰减原理，表明若 $ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $，则负的极小值在模长上受有界。
• 应用狭窄区域原理，通过证明当 $ \lambda $ 足够负时在 $ \Sigma_\lambda $ 中有 $ w_\lambda(x) \geq 0 $，从而启动移动平面法。
• 在全空间和单位球中应用移动平面法，证明正解的径向对称性和单调性。
• 通过 $ G $ 的泰勒展开和奇异积分的渐近分析，研究 $ F_\alpha(u(x)) $ 在 $ \alpha \to 2 $ 时的极限。
• 利用 $ C_{n,\alpha} = c_n(2 - \alpha) $ 提取积分中的主导项，表明其收敛于 $ a(-\Delta u) + b|\nabla u|^2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖扩展方法或积分方程重构的前提下，为完全非线性非局部算子 $ F_\alpha $ 建立最大原理？
• RQ2 在移动平面法过程中，何种条件可确保差值 $ w_\lambda(x) = u(x^\lambda) - u(x) $ 在狭窄区域中保持非负？
• RQ3 线性化方程中系数 $ c(x) $ 的衰减行为如何影响 $ w_\lambda $ 极小值的位置？
• RQ4 当 $ \alpha \to 2 $ 时，$ F_\alpha(u(x)) $ 的逐点极限是什么？它趋近于何种类型的局部PDE？
• RQ5 移动平面法能否成功应用于 $ \mathbb{R}^n $、单位球和半空间中解的对称性与单调性结果的推导？

主要发现

• 建立了反对称函数的最大原理，确保当 $ \lambda $ 足够负时在 $ \Sigma_\lambda $ 中有 $ w_\lambda(x) \geq 0 $，从而支持移动平面法的应用。
• 证明了狭窄区域原理和无穷远处衰减原理，表明若 $ c(x) = o(|x|^{-\alpha}) $，则 $ w_\lambda $ 的负极小值被限制在有界区域内。
• 证明了单位球中狄利克雷问题的正解具有径向对称性，并在径向方向上严格递增。
• 在适当衰减和符号条件下，$ \mathbb{R}^n $ 中的解具有径向对称性，并关于径向变量单调递增。
• 在假设 $ u > 0 $ 在 $ \mathbb{R}^n_+ $ 内且 $ u \geq 0 $ 在边界上时，证明了在半空间 $ \mathbb{R}^n_+ $ 中不存在正解。
• 当 $ \alpha \to 2 $ 时，算子 $ F_\alpha(u(x)) $ 逐点收敛于 $ a(-\Delta u(x)) + b|\nabla u(x)|^2 $，其中 $ a \propto G'(0) $，$ b \propto G''(0) $。