[论文解读] Maximum-rate, Minimum-Decoding-Complexity STBCs from Clifford Algebras

Sanjay Karmakar, B. Sundar Rajan|ArXiv.org|Dec 14, 2007

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文提出了一类从克莱夫福德代数的酉矩阵表示导出的克莱夫福德酉权单符号可译码（CUW-SSD）空时块编码（STBCs），在实现最大传输速率的同时保持最低的译码复杂度。它建立了单位权SSD码在$2^a$根发射天线下的速率上界为$rac{a}{2^{a-1}}$，该速率超过传统正交设计的速率，并证明了CUW-SSD码可达到此上界，同时保证完全分集增益，并给出了显式的编码增益表达式。

ABSTRACT

It is well known that Space-Time Block Codes (STBCs) from orthogonal designs (ODs) are single-symbol decodable/symbol-by-symbol decodable (SSD) and are obtainable from unitary matrix representations of Clifford algebras. However, SSD codes are obtainable from designs that are not orthogonal also. Recently, two such classes of SSD codes have been studied: (i) Coordinate Interleaved Orthogonal Designs (CIODs) and (ii) Minimum-Decoding-Complexity (MDC) STBCs from Quasi-ODs (QODs). Codes from ODs, CIODs and MDC-QODs are mutually non-intersecting classes of codes. The class of CIODs have {\it non-unitary weight matrices} when written as a Linear Dispersion Code (LDC) proposed by Hassibi and Hochwald, whereas several known SSD codes including CODs have {\it unitary weight matrices}. In this paper, we obtain SSD codes with unitary weight matrices (that are not CODs) called Clifford Unitary Weight SSDs (CUW-SSDs) from matrix representations of Clifford algebras. A main result of this paper is the derivation of an achievable upper bound on the rate of any unitary weight SSD code as $\frac{a}{2^{a-1}}$ for $2^a$ antennas which is larger than that of the CODs which is $\frac{a+1}{2^a}$. It is shown that several known classes of SSD codes are CUW-SSD codes and CUW-SSD codes meet this upper bound. Also, for the codes of this paper conditions on the signal sets which ensure full-diversity and expressions for the coding gain are presented. A large class of SSD codes with non-unitary weight matrices are obtained which include CIODs as a proper subclass.

研究动机与目标

• 开发具有酉权矩阵但非正交设计（ODs）的单符号可译码（SSD）STBCs，以实现最大速率与最小译码复杂度。
• 推导出任意$2^a$根发射天线的单位权SSD码的可实现速率上界，优于传统正交设计的速率。
• 利用克莱夫福德代数的不可约酉表示，构造一类新的STBCs——克莱夫福德酉权SSD（CUW-SSD）码，确保完全分集增益并提供显式的编码增益表达式。
• 通过证明现有SSD码类（如CODs、CIODs、MDC-QODs）均为CUW-SSD码的特例，统一并推广了现有SSD码类，并证明CUW-SSD码可达到所推导的速率上界。

提出的方法

• 利用克莱夫福德代数$CA_{2a+1}$的酉矩阵表示构造SSD码，通过不可约表示生成具有酉性质的权矩阵。
• 推导出权矩阵$A_{iI}$和$A_{iQ}$的一般形式为$A_{iI} = V^H M_i V$，$A_{iQ} = V^H N_i V$，其中$M_i$、$N_i$为满足反对易关系的斜厄米特矩阵。
• 施加条件$A_{iI}^H A_{iQ} + A_{iQ}^H A_{iI} = 0$以确保SSD特性，该条件转化为$i \neq j$时$M_i N_j = -N_j M_i$。
• 利用克莱夫福德代数的结构定义生成元$A_{2a+2} = \pm j \prod_{i=2}^{2a+1} A'_{iQ}$，以确保表示的忠实性与不可约性。
• 应用舒尔引理与酉等价性，证明所得到的码结构满足SSD条件，并避免退化情况（如$A_{iQ} = c A_{iI}$）。
• 通过分析在SSD约束下单位权矩阵中独立复变量的最大数量，推导出$2^a$根天线的速率上界为$\frac{a}{2^{a-1}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$2^a$根发射天线的任意单位权单符号可译码（SSD）STBC，其最大可实现速率是多少？
• RQ2 能否构造出非正交设计（ODs）的单位权SSD码，且其速率高于传统ODs？
• RQ3 如何利用克莱夫福德代数的结构生成具有最小译码复杂度与完全分集增益的新一类STBCs？
• RQ4 现有SSD码类（如CIODs、MDC-QODs、CODs）是否为从克莱夫福德代数导出的更广泛码类的特例？
• RQ5 在何种信号集条件下可保证完全分集增益，且如何显式计算所提码的编码增益？

主要发现

• 本文建立了$2^a$根发射天线的任意单位权SSD码的速率上界为$\frac{a}{2^{a-1}}$，该值严格大于传统正交设计的速率（$\frac{a+1}{2^a}$）。
• 所提出的克莱夫福德酉权SSD（CUW-SSD）码达到了该上界，证明该上界是紧致且可实现的。
• 若干已知的SSD码类——包括正交设计（ODs）、坐标交织正交设计（CIODs）以及来自准正交设计（QODs）的最小译码复杂度（MDC）码——均被证明是CUW-SSD码的特例。
• 本文通过利用克莱夫福德代数的不可约表示与酉等价性，证明了所提构造可避免退化情况（如$A_{iQ} = c A_{iI}$），从而确保完全分集增益与正确译码。
• 推导出编码增益的显式表达式，并给出了保证所提码完全分集增益的信号集条件。
• 当扩展至非酉权矩阵情形时，该构造可产生一大类SSD码，其中CIODs为其中的真子类。