[论文解读] Maximum Rooted Connected Expansion

Ioannis Lamprou, Russell Martin+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 7被引用 1

一句话总结

本文提出了最大根连通扩展（MRCE）问题，旨在寻找一个包含给定根节点的连通子图，以最大化其闭邻域大小与自身大小的比值。作者证明了在分裂图上该问题为NP难，为分裂图设计了多项式时间近似方案，利用预算连通支配技术为一般图提供了1/6(1−1/e)近似解，并为区间图设计了O(n³)时间的最优算法。

ABSTRACT

Prefetching constitutes a valuable tool toward efficient Web surfing. As a result, estimating the amount of resources that need to be preloaded during a surfer's browsing becomes an important task. In this regard, prefetching can be modeled as a two-player combinatorial game [Fomin et al., Theoretical Computer Science 2014], where a surfer and a marker alternately play on a given graph (representing the Web graph). During its turn, the marker chooses a set of $k$ nodes to mark (prefetch), whereas the surfer, represented as a token resting on graph nodes, moves to a neighboring node (Web resource). The surfer's objective is to reach an unmarked node before all nodes become marked and the marker wins. Intuitively, since the surfer is step-by-step traversing a subset of nodes in the Web graph, a satisfactory prefetching procedure would load in cache all resources lying in the neighborhood of this growing subset. Motivated by the above, we consider the following problem to which we refer to as the Maximum Rooted Connected Expansion (MRCE) problem. Given a graph $G$ and a root node $v_0$, we wish to find a subset of vertices $S$ such that $S$ is connected, $S$ contains $v_0$ and the ratio $|N[S]|/|S|$ is maximized, where $N[S]$ denotes the closed neighborhood of $S$, that is, $N[S]$ contains all nodes in $S$ and all nodes with at least one neighbor in $S$. We prove that the problem is NP-hard even when the input graph $G$ is restricted to be a split graph. On the positive side, we demonstrate a polynomial time approximation scheme for split graphs. Furthermore, we present a $\frac{1}{6}(1-\frac{1}{e})$-approximation algorithm for general graphs based on techniques for the Budgeted Connected Domination problem [Khuller et al., SODA 2014]. Finally, we provide a polynomial-time algorithm for the special case of interval graphs.

研究动机与目标

• 建模并解决以给定节点为根的连通子图扩展比最大化的问题。
• 确定最大根连通扩展（MRCE）问题在各类图类中的计算复杂性。
• 为一般图及特殊图类中的MRCE问题开发高效近似与精确算法。
• 探索MRCE与支配问题之间的联系，特别是预算连通支配问题。
• 为网络图中的预取效率提供理论与算法洞察。

提出的方法

• 将MRCE问题定义为在包含根节点v0的连通集合S上最大化|N[S]|/|S|的优化问题。
• 通过从已知NP难问题的归约，证明MRCE在限制为分裂图时仍为NP难。
• 基于动态规划与结构分解，为分裂图设计了多项式时间近似方案（PTAS）。
• 借鉴预算连通支配问题（BCDS）的技术，为一般图实现1/6(1−1/e)近似解。
• 通过利用区间序关系与独立的左右扩展，设计了一种动态规划算法，使区间图上的算法时间复杂度为O(n³)。
• 使用递归扩展函数（Expand）与组合函数（Combine），探索所有包含根节点的最大连通子集。

实验结果

研究问题

• RQ1 MRCE问题在分裂图等受限图类上是否为NP难？
• RQ2 能否为分裂图上的MRCE问题设计多项式时间近似方案（PTAS）？
• RQ3 利用与BCDS等类似问题相关的技术，一般图上可达到的最佳近似比是多少？
• RQ4 MRCE问题是否在区间图上存在多项式时间精确算法？
• RQ5 能否利用弦图的结构特性来设计MRCE的高效算法？

主要发现

• 即使输入图为分裂图，MRCE问题仍为NP难。
• 分裂图上的MRCE问题存在多项式时间近似方案（PTAS）。
• 对于一般图，本文基于与预算连通支配问题的联系，提出了一种1/6(1−1/e)近似算法。
• 为区间图提供了最优的O(n³)时间算法，实现了多项式时间内的精确求解。
• 该区间图算法通过从每个节点独立进行左右扩展，并利用动态规划组合，以最大化扩展比。
• 通过证明任何次优解在搜索空间中都会被更优解所超越，从而证明了区间图算法的正确性。