[论文解读] Maximum Spontaneous Magnetization and Nambu-Goldstone Mode

Tohru Koma|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2017

Solar and Space Plasma Dynamics参考文献 33被引用 4

一句话总结

该论文严格证明，在超立方晶格上的量子反铁磁海森堡模型中，当施加无穷小的对称性破缺场时，自发表磁化强度在零温及有限温度下均达到最大值。论文证明了当磁化强度非零时，在无限体积纯基态之上存在无能隙的Nambu-Goldstone模，并通过反射正定性和热力学极限分析，无需任何假设，展示了在相同条件下横向自旋关联的缓慢、Nambu-Goldstone型衰减。

ABSTRACT

We study quantum antiferromagnetic Heisenberg models on a hypercubic lattice. We prove the following three theorems without any assumption: (i) The spontaneous magnetization which is obtained by applying the infinitesimally weak symmetry breaking field is equal to the maximum spontaneous magnetization at zero or non-zero low temperatures. (ii) When the spontaneous magnetization is non-vanishing at zero temperature, there appears a gapless excitation, Nambu-Goldstone mode, above an infinite-volume pure ground state. (iii) When the spontaneous magnetization is non-vanishing at zero or non-zero low temperatures, the transverse correlation in the infinite-volume limit exhibits a Nambu-Goldstone-type slow decay.

研究动机与目标

• 在无先验假设的前提下，严格建立量子反铁磁海森堡模型中自发磁化行为的性质。
• 通过区分有限体积的低激发态与真正的无限体积基态，解决低能激发谱中的模糊性。
• 证明当自发磁化非零时，在无限体积纯基态之上存在无能隙的Nambu-Goldstone模。
• 证明与Nambu-Goldstone模相关的横向自旋-自旋关联函数呈现缓慢的幂律衰减。

提出的方法

• 利用反射正定性确保量子自旋模型在超立方晶格上的有效性。
• 应用弱*极限，从具有周期性边界条件的有限体积基态定义无限体积基态。
• 采用Bijl-Feynman单模近似，并通过谱分析对低激发态进行严格控制以加以拓展。
• 使用算子范数估计及关联函数的界，包括涉及 $ b_p^{(eta)} $、$ g_p^{(eta)} $ 和 $ c_p^{(eta)} $ 的不等式。
• 应用Bochner定理将横向自旋关联函数表示为测度的傅里叶变换，识别出在 $ p = (π, \dots, \pi) $ 处的狄拉克函数分量。
• 利用Riemann-Lebesgue引理表明，该测度的绝对连续部分在大距离下可忽略不计，从而将长程行为归因于狄拉克函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无穷小对称性破缺场作用下，自发磁化强度是否在零温或有限温度下达到最大可能值？
• RQ2 当自发磁化非零时，无限体积纯基态之上是否存在无能隙的Nambu-Goldstone模？
• RQ3 在自发磁化非零的情况下，横向自旋-自旋关联函数在大距离处如何衰减？
• RQ4 能否从哈密顿量的谱性质严格推导出Nambu-Goldstone型关联的缓慢衰减？

主要发现

• 在零温及有限温度下，通过无穷小对称性破缺场获得的自发磁化强度等于最大可能值，且无需任何假设。
• 当零温下自发磁化非零时，在无限体积纯基态之上出现无能隙的Nambu-Goldstone模。
• 当零温或有限温度下自发磁化非零时，横向自旋-自旋关联函数表现出与Nambu-Goldstone模特征相符的缓慢衰减。
• 关联函数的长距离行为由动量空间中 $ p = (π, \dots, \pi) $ 处的狄拉克函数主导，表明存在长程序。
• 关联函数的界表明在三维或更高维度下具有可积性，支持存在一个定义良好的长波模式。
• 分析确认无限体积基态是纯的，且有限体积的低激发态在热力学极限下不贡献于长程序。