[论文解读] Maximum Stable Sets and Pendant Vertices in Trees

Vadim E. Levit, Eugen Mǎndrescu|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 1999

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 2

一句话总结

本文证明，在阶大于1的树中，每个最大稳定集必须包含至少一个叶顶点；若该树不存在完美匹配，则任意由两个或以上叶顶点构成的稳定集必位于所有最大稳定集的交集中。该研究强化了图论中关于稳定集交集的既有结果，尤其针对树图结构。

ABSTRACT

One theorem of Nemhauser and Trotter [10] ensures that, under certain conditions, a stable set of a graph G can be enlarged to a maximum stable set of this graph. For example, any stable set consisting of only simplicial vertices is contained in a maximum stable set of G. In this paper we demonstrate that an inverse assertion is true for trees of order greater than one, where, in fact, all the simplicial vertices are pendant. Namely, we show that any maximum stable set of such a tree contains at least one pendant vertex. Moreover, we prove that if T does not own a perfect matching, then a stable set, consisting of at least two pendant vertices, is included in the intersection of all its maximum stable sets. For trees, the above assertion is also a strengthening of one result of Hammer et al., [3], stating that if G is of order less that 2α(G) (where α(G) is the size of a maximum stable set of G), then the intersection of all its maximum stable sets is non-empty.

研究动机与目标

• 研究树图中最大稳定集的结构性质。
• 确定叶顶点是否必然包含于所有树图的最大稳定集中。
• 刻画无完美匹配的树图中所有最大稳定集的交集结构。
• 扩展并强化关于稳定集交集的既有成果，特别是Hammer等人以及Nemhauser与Trotter的研究。

提出的方法

• 利用树图中单纯顶点等价于叶顶点的性质，分析叶顶点在稳定集中的作用。
• 应用Nemhauser-Trotter定理，建立稳定集可扩展为最大稳定集的条件。
• 运用结构图论分析无完美匹配的树图及其稳定集性质。
• 证明在这些树图中，任意由至少两个叶顶点构成的稳定集均包含于每一个最大稳定集中。
• 通过树分解与匹配理论分析所有最大稳定集的交集。
• 建立无完美匹配与所有最大稳定集中包含叶顶点集合之间的对偶关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 阶大于1的树图中，每个最大稳定集是否必然包含至少一个叶顶点？
• RQ2 在何种条件下，由多个叶顶点构成的稳定集会包含于树图所有最大稳定集的交集中？
• RQ3 树图中若不存在完美匹配，其最大稳定集的结构会受到何种影响？
• RQ4 Nemhauser与Trotter的结果能否在树图中被逆向或强化？
• RQ5 叶顶点在多大程度上刻画了树图中所有最大稳定集的交集结构？

主要发现

• 阶大于1的树图中，每个最大稳定集均包含至少一个叶顶点。
• 若树图不存在完美匹配，则由至少两个叶顶点构成的任意稳定集均包含于其所有最大稳定集的交集中。
• 无完美匹配的树图中，所有最大稳定集的交集非空，且该性质由交集中存在多个叶顶点所保证。
• 该结果强化了Hammer等人提出的定理：若图的阶小于其最大稳定集大小的两倍，则所有最大稳定集的交集非空。
• 本文建立了结构性对偶关系：树图中若不存在完美匹配，则所有大小≥2的叶顶点集合必被包含于所有最大稳定集中。
• 对于树图，Nemhauser-Trotter定理的逆命题成立：叶顶点的稳定集被包含于最大稳定集中，且在某些情况下被包含于所有此类稳定集中。