[论文解读] Maximum Throughput Problem in Dissipative Flow Networks with Application to Natural Gas Systems

Sidhant Misra, Marc Vuffray+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文提出了一种凸优化框架，通过利用网络流方程的变分形式，求解耗散性流网络（如天然气系统）中的最大吞吐量问题。该框架通过严格凸能函数建立了解的唯一性，并提出了一种双凸优化方法及混合整数凸松弛方法以验证全局最优性，在天然气网络测试案例中实现了对次优性的紧密边界。

ABSTRACT

We consider a dissipative flow network that obeys the standard linear nodal flow conservation, and where flows on edges are driven by potential difference between adjacent nodes. We show that in the case when the flow is a monotonically increasing function of the potential difference, solution of the network flow equations is unique and can be equivalently recast as the solution of a strictly convex optimization problem. We also analyze the maximum throughput problem on such networks seeking to maximize the amount of flow that can be delivered to the loads while satisfying bounds on the node potentials. When the dissipation function is differentiable we develop a representation of the maximum throughput problem in the form of a twice differentiable biconvex optimization problem exploiting the variational representation of the network flow equations. In the process we prove a special case of a certain monotonicity property of dissipative flow networks. When the dissipation function follows a power law with exponent greater than one, we suggest a mixed integer convex relaxation of the maximum throughput problem. Finally, we illustrate application of these general results to balanced, i.e. steady, natural gas networks also validating the theory results through simulations on a test case.

研究动机与目标

• 建立耗散性流网络方程的变分、严格凸公式，确保解的唯一性。
• 在耗散函数可微的条件下，为最大吞吐量问题开发一种二阶可微的双凸优化公式。
• 在耗散函数遵循指数大于1的幂律时，为最大吞吐量问题提出一种混合整数凸松弛方法。
• 在平衡的天然气网络模型上验证该框架，展示接近全局最优的解。
• 提供一个计算流程，结合启发式解与最优性间隙估计，以实现实际部署。

提出的方法

• 通过能量函数将网络流方程表述为严格凸优化问题，利用凸性确保解的唯一性。
• 推导对偶能量函数，并利用其Hessian矩阵获取优化求解器所需的梯度与Hessian信息。
• 利用能量函数对最大吞吐量问题进行双凸重构，在特定范围内有效。
• 针对指数大于1的幂律耗散函数，引入混合整数凸松弛方法，以减少非凸性。
• 在IPOPT中实现能量函数公式，采用解析梯度与自动Hessian计算。
• 使用BONMIN和SCIP求解MIQP松弛，以获得基准的全局解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过严格凸优化问题唯一确定耗散性流网络方程的解？
• RQ2 在耗散函数可微的条件下，如何将最大吞吐量问题重构为二阶可微的双凸优化问题？
• RQ3 在天然气网络中，通过能量函数启发式方法获得的解与全局最优解相比质量如何？
• RQ4 混合整数凸松弛在估计幂律耗散函数的最优性间隙方面效果如何？
• RQ5 所提出的框架能否扩展至动态或不确定网络优化问题？

主要发现

• 能量函数公式产生了一个可行解，作为最大吞吐量的上界，次优性间隙由MIQP下界界定。
• 在无压气机的测试案例中，能量函数启发式方法在压力边界（0.5–5.0）、（0.5–4.25）和（0.5–3.5）下分别获得-651、-576和-491的代价。
• 全局求解器（SCIP）在相同边界下找到的最优代价分别为-665、-579和-501，表明能量函数解距离全局最优仅差约2%。
• MIQP松弛分别产生-685、-581和-501的下界，表明最优性间隙的紧致性。
• 在包含压气机的情况下，能量函数启发式方法获得-694、-627和-584的代价，而SCIP找到-737、-632和-598的代价，表明存在5–6%的差距。
• MIQP松弛分别产生-752、-640和-598的下界，确认了边界的一致性与方法的鲁棒性。