[论文解读] Maximum vanishing subspace problem, CAT(0)-space relaxation, and block-triangularization of partitioned matrix

Masaki Hamada|arXiv (Cornell University)|May 5, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 32被引用 22

一句话总结

本文引入了分块矩阵的加权最大消失子空间问题（WMVSP），并证明可通过模格上的子模优化与CAT(0)-空间上的凸优化相结合的新方法，在伪多项式时间内求解。关键贡献是提出了一种基于CAT(0)-空间上的邻近点法的多项式时间算法，用于分块矩阵的块三角化，从而解决了该类矩阵规范形的一个开放问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider computing the degree of the Dieudonné determinant of a polynomial matrix A = A_l + A_{l-1} s + ⋯ + A₀ s^l, where each A_d is a linear symbolic matrix, i.e., entries of A_d are affine functions in symbols x₁, …, x_m over a field K. This problem is a natural "weighted analog" of Edmonds' problem, which is to compute the rank of a linear symbolic matrix. Regarding x₁, …, x_m as commutative or noncommutative, two different versions of weighted and unweighted Edmonds' problems can be considered. Deterministic polynomial-time algorithms are unknown for commutative Edmonds' problem and have been proposed recently for noncommutative Edmonds' problem. The main contribution of this paper is to establish a deterministic polynomial-time reduction from (non)commutative weighted Edmonds' problem to unweighed Edmonds' problem. Our reduction makes use of the discrete Legendre conjugacy between the integer sequences of the maximum degree of minors of A and the rank of linear symbolic matrices obtained from the coefficient matrices of A. Combined with algorithms for noncommutative Edmonds' problem, our reduction yields the first deterministic polynomial-time algorithm for noncommutative weighted Edmonds' problem with polynomial bit-length bounds. We also give a reduction of the degree computation of quasideterminants and its application to the degree computation of noncommutative rational functions.

研究动机与目标

• 解决在等价变换下计算分块矩阵规范块三角形形式的开放问题。
• 将二分图稳定集问题推广到涉及域F上块结构矩阵的线性代数设置。
• 为加权最大消失子空间问题（WMVSP）开发一种多项式时间算法，该问题推广了MVSP。
• 建立一种新颖的计算框架，结合模格上的子模优化与CAT(0)-空间上的凸优化。

提出的方法

• 将加权最大消失子空间问题（WMVSP）表述为在双线性消失约束下最大化子空间维数的加权和。
• 将向量空间的子空间格建模为模格，并将子模函数扩展到正则单纯复形K(L)，即CAT(0)-空间。
• 应用CAT(0)-空间版本的邻近点算法（PPA）求解所得的凸优化问题。
• 利用CAT(0)-空间的唯一测地线结构，迭代定义并计算邻近映射。
• 构建一种递归算法（q-DM与q-DMreg），通过使用特定设计权重的WMVSP最优解来提取极值mv-子空间，并构建准Dulmage-Mendelsohn（q-DM）分解。
• 证明在特定权重方案下，WMVSP的最优解可产生极值（最小或最大）mv-子空间，从而支持递归分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于域F上的分块矩阵，加权最大消失子空间问题（WMVSP）是否可在伪多项式时间内求解？
• RQ2 CAT(0)-空间上的凸优化是否可作为求解子空间模格上无限离散优化问题的可行框架？
• RQ3 通过适当的权重分配，能否唯一识别出极值mv-子空间（最小与最大）？
• RQ4 是否存在一种多项式时间算法，通过WMVSP的解来计算分块矩阵的规范块三角形形式？
• RQ5 能否通过重复求解具有定制权重的WMVSP，实现准Dulmage-Mendelsohn分解的算法化计算？

主要发现

• 在域F上，假设算术运算为常数时间，WMVSP可在伪多项式时间内求解，时间复杂度为m、n与最大权重W的多项式函数。
• 该解法依赖于一种新颖的组合方法：在模格上进行子模优化，结合在CAT(0)-空间上通过邻近点算法进行的凸优化。
• 在特定权重方案下（例如，最大化性情形下Cα = m+2，Dβ = m+1），极值mv-子空间（最小与最大）可作为WMVSP的最优解唯一获得。
• 一种递归算法（q-DM与q-DMreg）通过使用定制权重的WMVSP递归识别mv-子空间，计算出准Dulmage-Mendelsohn分解。
• 该算法运行在多项式时间内，因为每个WMVSP实例的权重有界，且定理1.1保证了伪多项式可解性。
• 该方法在mv-子空间与规范块三角形形式之间建立了构造性联系，解决了Ito、Iwata与Murota（1994）提出的开放问题。