[论文解读] Maximum Volume Subset Selection for Anchored Boxes

Karl Bringmann, Sergio Cabello+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 19

一句话总结

本文提出了一种针对三维锚定盒子最大体积子集选择问题的 n^O(√k) 算法，打破了此前 Ω(n choose k) 的下界。此外，还为任意常数维度 d 提供了一种高效的多项式时间近似方案（EPTAS），显著优于先前的 (1−1/e)-近似。该工作证明了三维情况下的 NP-难解性，并提出了一种结合平面分隔器与动态规划及舍入技术的创新方法以实现近似。

ABSTRACT

Let $B$ be a set of $n$ axis-parallel boxes in $\mathbb{R}^d$ such that each box has a corner at the origin and the other corner in the positive quadrant of $\mathbb{R}^d$, and let $k$ be a positive integer. We study the problem of selecting $k$ boxes in $B$ that maximize the volume of the union of the selected boxes. This research is motivated by applications in skyline queries for databases and in multicriteria optimization, where the problem is known as the hypervolume subset selection problem. It is known that the problem can be solved in polynomial time in the plane, while the best known running time in any dimension $d \ge 3$ is $Ω\big(\binom{n}{k}\big)$. We show that: - The problem is NP-hard already in 3 dimensions. - In 3 dimensions, we break the bound $Ω\big(\binom{n}{k}\big)$, by providing an $n^{O(\sqrt{k})}$ algorithm. - For any constant dimension $d$, we present an efficient polynomial-time approximation scheme.

研究动机与目标

• 解决在 d 维空间中选择 k 个锚定盒子以最大化并集体积的计算复杂性问题。
• 在三维情况下，弥合最佳已知算法与理论下界之间的差距，此前的算法需要 Ω(n choose k) 的时间。
• 为任意常数维度 d 开发一种多项式时间近似方案（EPTAS），优于先前的 (1−1/e)-近似。
• 证明该问题在三维情况下为 NP-难解，表明即使在低维情况下也具有计算上的不可解性。

提出的方法

• 通过从最大度为 3 的平面图上的独立集问题约化，证明了三维情况下的 NP-难解性，利用两个平行平面将问题嵌入三维空间。
• 设计了三维情况下的 n^O(√k) 算法，通过将三维问题投影到二维，并应用平面分隔器技术对子问题进行划分与求解。
• 引入了一种 (1−ε)-近似算法，采用基于网格的舍入方案，并在网格单元上使用动态规划以控制 ε 和 d 的指数依赖。
• 将多选 0/1 背包问题公式化，以高效组合来自网格单元的解，利用该子问题的已知 PTAS 技术。
• 通过坐标舍入与偏移迭代确保近似保证，误差通过几何与组合论证控制在 O(ε) 以内。
• 追溯动态规划表以重构一个大小至多为 k 的可行解 S ⊆ P，实现对最优体积的 (1−O(ε))-近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管二维情况下该最大体积子集选择问题可在多项式时间内求解，但在三维情况下是否为 NP-难解？
• RQ2 能否打破三维体积选择的 Ω(n choose k) 时间下界？若能，突破程度如何？
• RQ3 在任意常数维度 d ≥ 3 下，是否存在一种高效的多项式时间近似方案（EPTAS）？
• RQ4 近似质量（ε）、运行时间以及对 k 和 d 的依赖之间的最优权衡是什么？

主要发现

• 最大体积子集选择问题在三维情况下为 NP-难解，即使 d 为常数，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 本文提出了针对三维体积选择的 n^O(√k) 算法，打破了先前的 Ω(n choose k) 下界，显著提升了当前技术水平。
• 对于任意常数维度 d，本文提供了一种 EPTAS，其运行时间为 O(n · ε^−d(log n + k + 2^O(ε^−2 log 1/ε)^d))，在固定 d 和 ε 时为 n 和 k 的多项式时间。
• 该算法实现了对最优体积的 (1−O(ε))-近似，近似误差由 ε 控制，且与 n 无关。
• 改进后的 EPTAS 的运行时间被限制在 O(2^O(ε^−2 log 1/ε)^d · n log n) 以内，对于固定的 d 和 ε 具有高效性。
• 通过动态规划与回溯构造解，确保得到一个大小至多为 k 的可行子集，且达到期望的近似比。