[论文解读] Maximum Weight Independent Set in lClaw-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Raffaele Mosca|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2016

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 6被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种针对任意固定 $l$ 的 $l$-爪自由图中最大权独立集（MWIS）问题的多项式时间算法，扩展了此前关于爪自由图和 $lK_2$-自由图的研究结果。该方法基于反邻域的递归分解，并提出一种新算法——Algorithm Gamma($l$)，用于构造一个多项式规模的子图族，每个子图均为爪自由图且包含原图的所有最大独立集，从而通过动态规划高效求解MWIS问题。

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem is a well-known NP-hard problem. For graphs $G_1, G_2$, $G_1+G_2$ denotes the disjoint union of $G_1$ and $G_2$, and for a constant $l \ge 2$, $lG$ denotes the disjoint union of $l$ copies of $G$. A {\em claw} has vertices $a,b,c,d$, and edges $ab,ac,ad$. MWIS can be solved for claw-free graphs in polynomial time; the first two polynomial time algorithms were introduced in 1980 by \cite{Minty1980,Sbihi1980}, then revisited by \cite{NakTam2001}, and recently improved by \cite{FaeOriSta2011,FaeOriSta2014}, and by \cite{NobSas2011,NobSas2015} with the best known time bound in \cite{NobSas2015}. Furthermore MWIS can be solved for the following extensions of claw-free graphs in polynomial time: fork-free graphs \cite{LozMil2008}, $K_2$+claw-free graphs \cite{LozMos2005}, and apple-free graphs \cite{BraLozMos2010,BraKleLozMos2008}. This manuscript shows that for any constant $l$, MWIS can be solved for $l$claw-free graphs in polynomial time. Our approach is based on Farber's approach showing that every $2K_2$-free graph has ${\cal O}(n^2)$ maximal independent sets \cite{Farbe1989}, which directly leads to a polynomial time algorithm for MWIS on $2K_2$-free graphs by dynamic programming. Solving MWIS for $l$claw-free graphs in polynomial time extends known results for claw-free graphs, for $lK_2$-free graphs for any constant $l$ \cite{Aleks1991,FarHujTuz1993,Prisn1995,TsuIdeAriShi1977}, for $K_2$+claw-free graphs, for $2P_3$-free graphs \cite{LozMos2012}, and solves the open questions for $2K_2+P_3$-free graphs and for $P_3$+claw-free graphs being two of the minimal graph classes, defined by forbidding one induced subgraph, for which the complexity of MWIS was an open problem.

研究动机与目标

• 解决 $l$-爪自由图中MWIS问题的复杂性，这是爪自由图的一种自然推广。
• 将已知的关于 $lK_2$-自由图和 $K_2$+爪自由图中MWIS的多项式时间结果推广到更广泛的图类。
• 通过该框架解决 $2K_2+P_3$-自由图和 $P_3$+爪自由图这两个最小禁止子图类的开放问题。
• 通过结构分解，将Farber针对 $2K_2$-自由图的方法推广至 $l$-爪自由图。

提出的方法

• 提出 Algorithm Gamma($l$)，用于计算一个良好爪自由图族，其中每个子图均包含原图的所有最大独立集。
• 采用递归分解：对每个诱导子图 $L_k$（一种特定的5个顶点子图），计算其反邻域 $A_G(L_k)$，该反邻域为 $(l-1)$-爪自由图。
• 对 $l$ 进行归纳，假设方法在 $l-1$ 时成立，以确保反邻域可接受一个良好爪自由图族。
• 通过每次循环 $O(n)$ 时间的迭代扩展，构造一个顶点子集的多项式规模族 ${\cal S}$，使得每个子集诱导出一个爪自由子图。
• 对 ${\cal S}$ 中的每个成员使用动态规划，利用已知的 $O(n^2 \log n)$ 时间复杂度的爪自由图MWIS算法（定理1）。
• 将 ${\cal S}$ 中所有成员的结果合并，返回最大权独立集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意固定的 $l$，$l$-爪自由图中的MWIS问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 用于 $2K_2$-自由图的结构化方法是否可推广至 $l$-爪自由图？
• RQ3 $2K_2+P_3$-自由图和 $P_3$+爪自由图这两个曾为开放问题的图类，是否已被该框架解决？
• RQ4 能否在多项式时间内为 $l$-爪自由图计算出一个良好爪自由图族？

主要发现

• 对于任意固定的 $l$，$l$-爪自由图中的MWIS问题可在多项式时间内求解，解决了该开放问题。
• Algorithm Gamma($l$) 可在多项式时间内计算出一个良好爪自由图族，且其成员数量受 $n$ 的多项式有界。
• Algorithm Gamma($l$) 构造的族 ${\cal S}$ 包含输入图的所有最大独立集。
• ${\cal S}$ 中每个成员均诱导出一个爪自由子图，从而可对每个分量使用已知的 $O(n^2 \log n)$ 时间复杂度的MWIS算法。
• Algorithm MWIS($l$) 的总体时间复杂度为多项式时间，与底层爪自由图MWIS算法的时间界一致。
• 该结果推广了此前关于 $lK_2$-自由图、$K_2$+爪自由图和 $2P_3$-自由图的研究成果，并解决了两个最小开放情况：$2K_2+P_3$-自由图和 $P_3$+爪自由图。