[论文解读] Maximum Weight Independent Sets for ($P_7$,Triangle)-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Raffaele Mosca|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对 (P₇, triangle)-free 图的 Maximum Weight Independent Set (MWIS) 問題的多项式时间算法，通过新颖地应用反邻域方法，将问题递归地简化为多项式时间可解的二分图子图。主要贡献是首次为该类图提供了 MWIS 的多项式时间解法，扩展了此前对 P₆-free 和 P₅-free 图的结果。

ABSTRACT

The Maximum Weight Independent Set (MWIS) problem on finite undirected graphs with vertex weights asks for a set of pairwise nonadjacent vertices of maximum weight sum. MWIS is one of the most investigated and most important algorithmic graph problems; it is well known to be NP-complete, and it remains NP-complete even under various strong restrictions such as for triangle-free graphs. Its complexity was an open problem for $P_k$-free graphs, $k \ge 5$. Recently, Lokshtanov, Vatshelle, and Villanger proved that MWIS can be solved in polynomial time for $P_5$-free graphs, and Lokshtanov, Pilipczuk, and van Leeuwen proved that MWIS can be solved in quasi-polynomial time for $P_6$-free graphs. It still remains an open problem whether MWIS can be solved in polynomial time for $P_k$-free graphs, $k \geq 6$ or in quasi-polynomial time for $P_k$-free graphs, $k \geq 7$. Some characterizations of $P_k$-free graphs and some progress are known in the literature but so far did not solve the problem. In this paper, we show that MWIS can be solved in polynomial time for ($P_7$,triangle)-free graphs. This extends the corresponding result for ($P_6$,triangle)-free graphs and may provide some progress in the study of MWIS for $P_7$-free graphs.

研究动机与目标

• 解决 (P₇, triangle)-free 图中 Maximum Weight Independent Set (MWIS) 問題的计算复杂性。
• 将已知的 MWIS 在 P₅-free 和 P₆-free 圖中的多项式时间可解性，扩展至在三角形自由限制下的 P₇-free 圖。
• 开发一种将 MWIS 实例约化为二分图子问题的方法，这些子问题可在多项式时间内求解。
• 建立 (P₇, triangle)-free 圖的结构特性，以实现高效的分解与求解。

提出的方法

• 该算法应用反邻域方法，利用恒等式 α_w(G) = max{α_w(G[V∖{v}]), α_w(G[V∖N(v)])} 对任意顶点 v 成立。
• 它递归地选择顶点，并将图划分为子图，重点关注由不与选定顶点相邻的顶点所诱导的连通分量。
• 该方法确保所有极大独立集均包含在多项式有界的子集族中，且这些子集诱导出二分图。
• 对于每个此类子集，利用已知的二分图多项式时间算法求解 MWIS。
• 该方法依赖于 (P₇, triangle)-free 圖的结构特性，包括某些分量类型的有界性以及诱导子图的限制。
• 该算法的时间复杂度为 O(n¹³)，由反邻域约化的迭代应用和多项式时间子程序推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 (P₇, triangle)-free 圖中以多项式时间求解 MWIS 問題？
• RQ2 当与三角形自由性结合时，反邻域方法是否可扩展至 P₇-free 圖？
• RQ3 是否可以利用 (P₇, triangle)-free 圖的结构，将 MWIS 约化为多项式时间可解的子问题？
• RQ4 在 (P₇, triangle)-free 圖中，是否存在一个多项式大小的子集族，使得每个极大独立集都包含在至少一个诱导出二分图的子集中？

主要发现

• 在 (P₇, triangle)-free 圖中，MWIS 問題可在多项式时间内求解，时间复杂度上限为 O(n¹³)。
• 该解法依赖于反邻域方法的重复应用，将问题约化为二分图或具有有界结构的子图。
• 对于每个 (P₇, triangle)-free 圖 G，存在一个诱导出二分图的子集族 S，其大小为多项式，使得每个极大独立集都包含在 S 的某个成员中。
• 该结果扩展了在三角形自由限制下对 P₅-free 和 P₆-free 圖的已知多项式时间结果，为 P₇-free 圖提供了重要进展。
• 该方法不依赖于有界 clique-width，这一点意义重大，因为 P₇-free 二分图具有无界的 clique-width。
• 该方法意味着 MWIS 也可在多项式时间内求解于 (P₇, house, bull, double-gem)-free 圖，通过模块分解和结构结果。