[论文解读] Maximum Wiener index of unicyclic graphs with given bipartition

Jan Bok, Nikola Jedličková+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

Graph theory and applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过确定具有给定二分划 (p, q) 的单环二分图中使 Wiener 指数最大的图，解决了极值图论中的一个开放问题。证明了最大值唯一由一种‘洋葱图’结构实现，即 $\mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rceil)$，并给出了最大 Wiener 指数值的闭式表达式。

ABSTRACT

The \emph{Wiener index} is a widely studied topological index of graphs. One of the main problems in the area is to determine which graphs of given properties attain the extremal values of Wiener index. In this paper we resolve an open problem posed by Du in 2012. To this end we determine the unicyclic bipartite graphs with given size of parts having the maximum Wiener index. This completes the previous research in which the minimum case was solved.

研究动机与目标

• 解决 Du（2012）提出的关于具有固定二分划 (p, q) 的单环二分图的最大 Wiener 指数的开放问题。
• 刻画在给定部分大小 p 和 q 时使 Wiener 指数达到最大值的单环图的结构。
• 通过求解最大情况，完成对该类图的极值刻画，继先前对同一类图的最小 Wiener 指数的研究之后。
• 提供以 p 和 q 表示的最大 Wiener 指数值的闭式表达式。

提出的方法

• 引入‘洋葱图’$\mathrm{On}(k,l,m)$，其定义为：一个 4-圈，在其中一个顶点上附加悬挂边，其对角顶点连接一条长度为 l 的路径，另一端点附加 m 条悬挂边。
• 采用基于传输的分析方法：Wiener 指数等于所有顶点传输之和的一半，其中顶点 v 的传输 $t_G(v)$ 定义为 v 到所有其他顶点的距离之和。
• 通过一系列引理约束极值图的结构：所有极值图必须包含一个 4-圈，且所有悬挂顶点必须位于较大的部分 Q 中。
• 应用图识别的变换论证：通过比较由较小图的顶点识别形成的图的 Wiener 指数，表明偏离最优结构将导致 Wiener 指数减小。
• 使用引理 11 计算洋葱图中顶点的精确传输值，从而实现对 Wiener 指数的精确比较。
• 应用引理 2（一种传输比较引理）证明，任何对最优参数化的偏离都会在修改后的图中导致严格更大的 Wiener 指数，从而与最大性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有给定 (p,q)-划分为的单环二分图能实现最大的 Wiener 指数？
• RQ2 在此类图中，是否存在唯一的极值图结构使 Wiener 指数达到最大？
• RQ3 以 p 和 q 表示的最大 Wiener 指数的闭式表达式是什么？
• RQ4 结构参数如环大小、路径长度和悬挂边分布如何影响单环图中的 Wiener 指数？

主要发现

• 对于部分大小为 p 和 q（1 < p ≤ q）的单环二分图，其最大 Wiener 指数唯一由洋葱图 $\mathrm{On}(\lfloor(q-p)/2\rfloor, 2p-3, \lceil(q-p)/2\rfloor)$ 实现。
• 该极值图的 Wiener 指数由如下显式公式给出：$(2p-5)\cdot\lceil(q-p)/2\rceil\lfloor(q-p)/2\rfloor + (p-7)\lceil(q-p)/2\rceil + (13-7p)\lfloor(q-p)/2\rfloor + 2p^2q + (q-p)^2 + 2p^3 - 37p + 66$。
• 对洋葱图最优参数化的任何偏离（例如，两个环顶点上悬挂边分布不均）都会导致 Wiener 指数严格减小。
• 极值图必须包含一个 4-圈，且所有悬挂顶点必须连接到较大部分 Q 中的同一个环顶点。
• 极值图中的路径长度固定为 $2p - 3$，这是由总顶点数和悬挂边数量推导得出的。
• 通过证明其他配置要么违反二分划约束，要么通过传输比较得出更小的 Wiener 指数，从而确立了唯一性。