[论文解读] Maxwell and Navier-Stokes Equations Equivalent to Einstein Equation

Fabio G. Rodrigues, Roldão da Rocha+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文证明，在特定条件——尤其是存在非平凡的 Killing 向量场——下，广义相对论中的爱因斯坦场方程自然导出麦克斯韦型方程和纳维-斯托克斯型方程。关键结果是：在具有 Killing 向量的时空几何框架下，统一推导出爱因斯坦方程、麦克斯韦方程和纳维-斯托克斯方程，揭示了引力、电磁学与流体动力学之间深刻的数学联系。

ABSTRACT

In this paper we are concerned to reveal that any spacetime structure \slg ,D,{ au}_{[sg] \sslg },\uparrow>, which is a model of a gravitational field in General Relativity generated by an energy-momentum tensor T --- and which contains at least one nontrivial Killing vector field A --- is such that the 2-form field F=dA (where A=[g] \slg (A,)) satisfies a Maxwell like equation --- with a well determined current that contains a term of the superconducting type--- which follows directly from Einstein equation. Moreover, we show that the resulting Maxwell like equations, under an additional condition imposed to the Killing vector field, may be written as a Navier-Stokes like equation as well. As a result, we have a set consisting of Einstein, Maxwell and Navier-Stokes equations that follows sequentially from the first one under precise mathematical conditions and once some identifications about field variables are evinced, as detailed explained throughout the text. We compare and emulate our results with others on the same subject appearing in the literature.

研究动机与目标

• 建立从爱因斯坦方程到具有非平凡 Killing 向量场的时空中的麦克斯韦型方程的数学路径。
• 识别所导出的麦克斯韦型方程中的源电流，包括由几何结构产生的超导型项。
• 证明在 Killing 向量场的附加条件下，同一系统可导出纳维-斯托克斯型方程。
• 在精确的几何约束下，将爱因斯坦方程、麦克斯韦型方程和纳维-斯托克斯型方程统一为广义相对论的连续推导结果。

提出的方法

• 利用表示具有能量-动量张量 T 的引力场的时空结构 (g, D, {α}_{[sg]}, ↑)。
• 识别一个非平凡的 Killing 向量场 A，满足 £_A g = 0，从而导出 2-形式 F = dA。
• 通过代入爱因斯坦方程和 Killing 向量场的性质，推导出 F 的麦克斯韦型方程。
• 通过几何约束，在麦克斯韦型方程的电流中引入超导型项。
• 对 Killing 向量场施加附加条件，以实现纳维-斯托克斯型方程的推导。
• 建立场变量的对应关系，使纳维-斯托克斯型方程能从同一几何框架中自然出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，爱因斯坦方程能导出由 Killing 向量场 A 导出的 2-形式 F = dA 的麦克斯韦型方程？
• RQ2 所导出的麦克斯韦型方程中电流项的物理与几何起源是什么，特别是其中的超导型分量？
• RQ3 对 Killing 向量场施加何种附加条件，可使同一系统导出纳维-斯托克斯型方程？
• RQ4 爱因斯坦方程、麦克斯韦型方程与纳维-斯托克斯型方程如何通过广义相对论中的单一几何框架实现序列关联？
• RQ5 这些推导出的方程与现有引力-电磁学-流体类比研究文献中的结果相比如何？

主要发现

• 由非平凡 Killing 向量场 A 导出的 2-形式 F = dA 满足一个麦克斯韦型方程，该方程可直接从爱因斯坦方程推出。
• 所导出的麦克斯韦型方程中的电流包含一个超导型项，其来源于时空的几何结构与 Killing 向量场的特性。
• 在对 Killing 向量场施加附加条件后，同一系统可导出纳维-斯托克斯型方程，从而将引力与流体动力学联系起来。
• 爱因斯坦方程、麦克斯韦型方程与纳维-斯托克斯型方程均通过广义相对论中精确的场变量对应关系，从单一几何框架中连续推导而出。
• 结果与现有类引力理论及统一场论文献一致，并进行了对比，凸显了其新颖的几何推导路径。