[论文解读] Maxwell equation, Shroedinger equation, Dirac equation, Einstein equation defined on the multifractal sets of the time and the space

L. Ya. Kobelev|ArXiv.org|Feb 1, 2000

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文通过将普通导数替换为基于时空依赖分形维数的广义分数阶导数（GFD），推广了物理学的基本方程——麦克斯韦、薛定谔、狄拉克和爱因斯坦方程。该方法得到的修正方程在分形维数接近1时退化为标准形式，弱场条件下（如地球引力场，约10⁻⁹）仅产生微小修正，而在强场区域仍保持正则且无奇点。

ABSTRACT

What forms will have an equations of modern physics if the dimensions of our time and space are fractional? The generalized equations enumerated by title are presented by help the generalized fractional derivatives of Riemann-Liouville.

研究动机与目标

• 将现代物理学的核心方程推广至具有分数（分形）维数的时空。
• 在时间与空间维数随空间和时间变化的多重分形集合上建模物理定律。
• 利用广义分数阶导数（GFD）推导弱场条件下标准方程的修正项。
• 探索当分形维数显著偏离1时，这些方程在强场区域的行为。
• 建立在多重分形时空中实现无奇点引力与量子场论的理论框架。

提出的方法

• 引入黎曼-刘维尔型的广义分数阶导数（GFD），其微分阶数为位置与时间的函数，即 $ d_t = d_t(oldsymbol{r},t) $，$ d_{oldsymbol{r}} = d_{oldsymbol{r}}(oldsymbol{r},t) $。
• 将标准方程（麦克斯韦、薛定谔、狄拉克、爱因斯坦）中的普通导数替换为这些GFD，以定义在多重分形时空集合上的方程。
• 通过 $ d_t = 1 + eta_{i, ho} L_{i, ho} $ 推导分形维数与拉格朗日能量密度的关系，将几何与物理场相联系。
• 采用近似 $ d_ au = 1 + ilde{ ho}(oldsymbol{r},t) $，$ | ilde{ ho}| o 0 $，将GFD表示为标准导数的微扰。
• 使用闵可夫斯基背景，其中基于GFD的度量张量 $ ilde{ ho}^{ ueta} $ 依赖于分形维数，而不仅依赖于曲率。
• 推导出修正的爱因斯坦型方程（如公式17），其中度量张量是分形维数的泛函，从而避免奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间和空间具有非整数、位置与时间相关的分形维数时，标准物理方程（麦克斯韦、薛定谔、狄拉克、爱因斯坦）将如何变换？
• RQ2 在弱场区域（如地球引力场或原子核附近）中，这些方程的主导修正项是什么？
• RQ3 当分形维数显著偏离1时，这些广义方程是否仍能保持正则且无奇点？
• RQ4 当度量张量依赖于由拉格朗日密度导出的分形维数时，引力方程中的度量张量如何被修正？
• RQ5 普通拉格朗日场论的形式体系在强场多重分形时空中的适用范围在多大程度上可以被拓展？

主要发现

• 当分形维数恰好为1时，广义方程退化为标准形式，确认了与已有物理理论的一致性。
• 在弱场条件下（如地球引力场），时间分形维数的修正约为 $ 10^{-9} $，表明与标准物理的偏离可忽略不计。
• 在原子尺度的电场中，分形维数的修正量级为 $ 10^{-8} $，虽仍较小，但在高精度实验中可能具有可测量性。
• 在强场区域，方程变为本质正则且无奇点的积分分数阶方程。
• 广义爱因斯坦方程（公式17）中的度量张量是分形维数的泛函，而该分形维数本身由拉格朗日密度导出，从而形成自洽的几何场论。
• 该框架表明，只要底层几何被适当地推广，基于普通拉格朗日量的量子与经典场论在强场多重分形时空中仍可能适用。