[论文解读] Maxwell-like picture of General Relativity and its Planck limit

Piotr Ogonowski, Piotr Skindzier|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2013

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于 (3+1) 时空中 Geroch 分解的洛伦兹不变、类麦克斯韦的广义相对论形式，引入了引力四势 $ V^\mu $、场张量 $ F^{\mu\nu} $ 和四极流 $ J^\mu $，其重现了爱因斯坦张量与能量-动量张量。关键成果是实现了在普朗克尺度下引力的协变量子化，得到了静止质量、光子能量以及精细结构常数的量子值。

ABSTRACT

We show that Geroch decomposition leads us to Maxwell-like representation of gravity in $(3+1)$ metrics decomposition that may be perceived as Lorentz invariant version of GEM. For such decomposition we derive four-potential $V^μ$ and gravitational field tensor $F^{μν}$ that is associated with gravitational interaction. Next we show that gravitational four-current $J^μ$ derived for introduced four-potential produce energy-stress tensor and reproduce main General Relativity formula. Next we introduce valid Lagrangian and equations of motion that explains obtained results. At the end we introduce new approach to quantization of gravity that results in proper quantum values and is open to further generalization.

研究动机与目标

• 开发一种洛伦兹不变、类 GEM 的广义相对论重述形式，以连接牛顿-卡坦理论与完整的广义相对论。
• 从史瓦西度规的 Geroch 分解中推导出引力四势 $ V^\mu $、场张量 $ F^{\mu\nu} $ 和四极流 $ J^\mu $。
• 证明由 $ J^\mu $ 导出的能量-动量张量可重现广义相对论的主要方程。
• 引入一种新的引力在普朗克极限下的量子化方案，得到物理上有意义的量子值。
• 探讨物质的波性以及引力场在量子引力中的作用。

提出的方法

• 对史瓦西度规应用 Geroch 分解，分离出一个类时的 Killing 向量场，并推导出具有 $ \lambda $ 和 $ \gamma_{ij} $ 的 (3+1) 形式度规。
• 定义引力标量场 $ \Phi = 1/\gamma_r $，其被解释为引力时间膨胀因子的倒数，并将弯曲时空解释为具有折射率 $ \gamma_r $ 的平坦流形。
• 构建类比于电磁学的引力四势 $ V^\mu $、场张量 $ F^{\mu\nu} $ 和四极流 $ J^\mu $，满足 $ \partial_\mu F^{\mu\nu} = J^\nu $。
• 从 $ J^\mu $ 推导能量-动量张量，证明其可重现爱因斯坦张量，从而在新形式中确认了完整的广义相对论场方程。
• 引入引力场的拉格朗日量，并推导出与场张量和电流一致的运动方程。
• 在普朗克极限下对标量场 $ \Phi $ 进行协变量子化，得到与量子理论一致的静止质量、光子能量和精细结构常数的数值。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 (3+1) 时空中 Geroch 分解，将广义相对论重述为类麦克斯韦、洛伦兹不变的形式？
• RQ2 所推导出的引力四势与场张量是否能重现广义相对论中的爱因斯坦张量与能量-动量张量？
• RQ3 引力场在普朗克尺度极限下是否能给出如静止质量与光子能量等具有物理意义的量子值？
• RQ4 物质的波性是否自然地编码于该引力场形式中，尤其是在局域无质量极限下？
• RQ5 该框架能否作为迈向一致量子引力理论的可行中间步骤，且与标准广义相对论相区别？

主要发现

• 史瓦西度规的 Geroch 分解导致一种 (3+1) 时空结构，其中引力等价于具有折射率 $ \gamma_r $ 的平坦时空，$ \gamma_r $ 被解释为引力时间膨胀因子。
• 引力场由类比于电磁学的四势 $ V^\mu $ 和场张量 $ F^{\mu\nu} $ 描述，伴随一个守恒的四极流 $ J^\mu $。
• 由 $ J^\mu $ 导出的能量-动量张量重现了爱因斯坦张量，证实了与广义相对论主场方程的一致性。
• 在普朗克极限下，对引力标量场 $ \Phi $ 的量子化给出了与量子理论一致的静止质量和光子能量值。
• 在无穷远处，该模型重现了类库仑势的电荷势能，表明在经典层面引力与电磁力可能实现统一。
• 该场的局域量子解为无质量平面波，表明在此框架中引力作为无内在质量的波场作用，且在局域参考系中无质量。