[论文解读] Maxwell's Equations, Hodge Theory, and Gravitation

D. H. Sattinger|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

Relativity and Gravitational Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文证明了麦克斯韦方程组可自然地从霍奇理论以及高斯与安培的基本定律中导出，将电磁场与引力场统一为闵可夫斯基时空中的几何现象。通过将电常数与磁常数的符号反转以反映引力的吸引性，该理论将麦克斯韦形式体系扩展至引力场，表明弱场引力本质上是自旋-1的，且与爱因斯坦的线性化自旋-2引力理论截然不同。

ABSTRACT

A mathematical proof is given that Maxwell's equations are an {\it artifact} of Hodge theory together with the laws of Gauss and Ampère, taken as axioms. They are thus geometric in nature, independent of any specific physical mechanisms, and valid for any force field -- attractive or repulsive -- generated by a material density and current. In particular, with appropriate sign changes to reflect the attractive nature of the field, they apply to gravitational fields on Minkowski space-time as well. The linearization of the Einstein Field Equations on Minkowksi space-time leads also to a linear theory of gravity; but this theory is spin 2, while Maxwell's field theory is spin 1. Hence the two theories are distinct. The relationship of Maxwell's field theory to Einstein's geometric theory is explained for weak fields.

研究动机与目标

• 通过霍奇理论建立麦克斯韦方程组的几何基础，独立于具体物理机制。
• 通过反转介电常数与磁导率常数的符号以反映吸引力，将麦克斯韦形式体系扩展至引力场。
• 阐明麦克斯韦自旋-1场论与爱因斯坦线性化自旋-2引力理论在弱场区域的差异。
• 表明电磁场与引力场的能量-动量张量均具有正的能量密度，从而解决历史上对场能量符号的质疑。

提出的方法

• 将霍奇分解定理应用于三维欧几里得空间上的微分形式，将矢量场分解为恰当分量与余恰当分量。
• 利用霍奇对偶性，将高斯定律与安培定律表示为微分形式，将其与电磁势及引力势联系起来。
• 在四维闵可夫斯基时空中，使用法拉第2-形式 $F$ 与麦克斯韦-安培2-形式 $G$ 来表述麦克斯韦方程组，二者通过霍奇对偶性关联。
• 从 $F$ 与 $G$ 的霍奇内积导出麦克斯韦方程组的拉格朗日量，确保规范不变性与几何一致性。
• 将电磁常数 $\epsilon$ 与 $\mu$ 重新解释为具有速度平方倒数量纲的几何参数，与狭义相对论一致。
• 通过将相同形式体系应用于引力场，反转 $\epsilon$ 与 $\mu$ 的符号，得到一个一致的自旋-1弱引力理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 麦克斯韦方程组能否作为霍奇理论与高斯及安培基本定律的几何结果被推导出来，且独立于具体物理机制？
• RQ2 鉴于麦克斯韦方程组最初用于描述排斥性电磁场，如何将其形式体系扩展以描述引力等吸引性力场？
• RQ3 在弱场极限下，麦克斯韦自旋-1场论与爱因斯坦线性化自旋-2引力理论之间有何关系？
• RQ4 为何电磁场与引力场的能量-动量张量 $T^{00}$ 均具有正的能量密度，从而解决历史上对负场能量的担忧？
• RQ5 麦克斯韦场论在广义相对论的后牛顿展开中，作为主导项的适用范围有多大？

主要发现

• 麦克斯韦方程组被证明是霍奇理论与高斯及安培公理的几何结果，适用于由物质密度与电流产生的任意力场——无论排斥或吸引。
• 通过反转 $\epsilon$ 与 $\mu$ 的符号，相同形式体系可应用于闵可夫斯基时空中的引力场，得到一个一致的自旋-1弱引力理论。
• 证明了乘积 $\mu\epsilon$ 具有速度平方倒数的量纲，且爱因斯坦的光速恒定假设确保 $\mu\epsilon = c^{-2}$，从而验证了该理论对所有力场的适用性。
• 电磁场与引力场的能量-动量张量 $T^{00}$ 均为正值，解决了经典物理中关于引力场能量为负的质疑。
• 在弱场极限下，麦克斯韦场论主导于爱因斯坦的线性化引力理论，后者仅提供微小的相对论修正，如水星近日点进动现象所示。
• 后牛顿近似表明，麦克斯韦方程组构成展开式的主导项，与弱引力区域中电磁类场占主导的观测结果一致。