[论文解读] Mayer-Vietoris systems and their applications

Lingxu Meng|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文通过使用cdp预层和cds前预层引入Mayer-Vietoris系统，将上同调工具推广至非紧流形。它在非紧复流形和光滑流形上建立了Dolbeault上同调与局部系统上同调的爆破公式同构关系，证明了Rao、Yang与Yang的公式在无需紧致性假设下依然成立。

ABSTRACT

We introduce notions such as cdp presheaf, cds precosheaf, Mayer-Vietoris system, and investigate their properties. As applications, we study cohomologies with values in local systems on smooth manifolds and Dolbeault cohomologies with values in locally free sheaves on complex manifolds, where the compactness is not necessary for both cases. In particular, we write out explicit blow-up formulas for these cohomologies. Moreover, we compare the blow-up formula given by Rao, S., Yang, S. and Yang, X.-D. with ours, and then deduce that their formula is still an isomorphism in the noncompact case.

研究动机与目标

• 基于Mayer-Vietoris系统构建非紧流形上同调理论的框架。
• 将经典结果如Leray-Hirsch定理与Poincaré对偶性推广至非紧情形。
• 在不依赖紧致性条件下，为Dolbeault上同调与局部系统上同调提供显式的爆破公式。
• 验证Rao、S.，Yang、S. 与Yang、X.-D.的爆破公式在非紧情形下仍为同构。
• 通过系统的预层-前预层方法，统一并推广先前关于向量丛值上同调的研究成果。

提出的方法

• 引入满足可数直积或直和条件的cdp预层与cds前预层。
• 将Mayer-Vietoris系统定义为包含限制与扩张映射的精确序列的预层或前预层集合。
• 建立一个关键定理：若M-V同态在某个开集基上诱导同构，则其本身为同构。
• 将该定理应用于光滑流形上局部系统值的上同调以及复流形上局部自由层值的上同调。
• 通过例外除子上法丛的陈类，构造显式的爆破同构。
• 使用算子 $ \pi^* + \sum_{i=0}^{r-2} (i_E)_* \circ (h^i \cup) \circ (\pi|_E)^* $ 定义上同调上的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Mayer-Vietoris系统能否用于将上同调公式推广至非紧流形？
• RQ2 Dolbeault上同调（取值于局部自由层）的爆破公式在非紧情形是否成立？
• RQ3 当基流形为非紧时，局部系统上同调的爆破公式是否仍为同构？
• RQ4 能否利用该框架将Leray-Hirsch定理与Künneth公式推广至非紧情形？
• RQ5 在非紧情形下，新同构与Rao、S.，Yang、S. 与Yang、X.-D.的同构相比有何异同？

主要发现

• 本文证明了Dolbeault上同调（取值于局部自由层）的爆破公式在非紧复流形上依然成立。
• 在无紧致性假设下，对所有 $ p,q $，有同构 $ H^{p,q}(\widetilde{X},\pi^*\mathcal{E}) \cong H^{p,q}(X,\mathcal{E}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H^{p-1-i,q-1-i}(Y, i_Y^*\mathcal{E}) $。
• 对于取值于局部系统的上同调，同构 $ H^k(\widetilde{X}, \pi^{-1}\mathcal{V}) \cong H^k(X,\mathcal{V}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H^{k-2-2i}(Y, i_Y^{-1}\mathcal{V}) $ 在非紧流形上成立。
• 该同构同样适用于紧支集上同调：$ H_c^k(\widetilde{X}, \pi^{-1}\mathcal{V}) \cong H_c^k(X,\mathcal{V}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H_c^{k-2-2i}(Y, i_Y^{-1}\mathcal{V}) $。
• 本文确认，Rao、S.，Yang、S. 与Yang、X.-D.的爆破公式在基流形为非紧时仍为同构。
• 该框架使得Leray-Hirsch定理与Künneth公式可通过Mayer-Vietoris系统推广至非紧情形。