[论文解读] MB-tensors and MB0-tensors

Chaoqian Li, Yaotang Li|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文引入了MB-张量和MB0-张量作为B-张量与拟双B-张量的推广，证明了偶数阶对称MB-张量是正定的，偶数阶对称MB0-张量是半正定的——从而证实了李和李关于拟双B0-张量的猜想。

ABSTRACT

The class of MB(MB0)-tensors, which is a generation of B(B0)-tensors and quasi-double B(B0)-tensors, is proposed. And we prove that an even order symmetric MB(MB0)-tensor is positive (semi-)definite. This provides a positive answer for the conjecture in Li and Li's paper [15] that an even order symmetric quasi-double B0-tensor is positive semi-definite.

研究动机与目标

• 提出一类新的张量，即MB-张量和MB0-张量，作为B-张量与拟双B-张量的推广。
• 建立偶数阶对称MB(MB0)-张量的正（半）定性。
• 为李和李的论文[15]中关于偶数阶对称拟双B0-张量半正定性的猜想提供肯定回答。

提出的方法

• 本文通过推广B-张量的结构，引入对角优势的附加约束，定义了MB-张量和MB0-张量。
• 提出一种基于张量结构中对角元与非对角元比较的递归构造方法。
• 正定性的证明依赖于对偶数阶对称张量相关联的多重线性型符号的分析。
• 利用已知的B-张量与拟双B-张量的结果作为推广中的基础组成部分。
• 作者利用非负张量的性质和对角优势，建立了MB(MB0)-张量的正定性。
• 分析限制在偶数阶对称张量范围内，其中结构对称性使得定性性质的推导成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 MB-张量类是否为B-张量与拟双B-张量的合理推广？
• RQ2 偶数阶对称MB-张量是否正定？
• RQ3 偶数阶对称MB0-张量是否半正定？
• RQ4 所提出的张量类是否解决了关于拟双B0-张量的猜想？
• RQ5 何种结构性质确保了该推广张量类的正（半）定性？

主要发现

• MB-张量类被引入为B-张量与拟双B-张量的恰当推广。
• 证明了每个偶数阶对称MB-张量均为正定。
• 证明了每个偶数阶对称MB0-张量均为半正定。
• 李和李[15]关于偶数阶对称拟双B0-张量半正定性的猜想被证实为真。
• MB(MB0)-张量的结构性质确保其关联的多重线性型对所有非零向量均为非负（正）的。