[论文解读] McKay Correspondence for semisimple Hopf actions on regular graded algebras, II

Kenneth Chan, Ellen Kirkman+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文将 McKay 对应关系推广至 Artin-Schelter 正则代数上的半单 Hopf 代数作用，建立了固定子代数 $A^H$、群半直积 $A\#H$ 与自同态环 $\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 的模范畴之间的范畴等价。证明了 Gabriel 有向图与 McKay 有向图的同构，并提供了 Leuschke 关于最大 Cohen-Macaulay 模自同态环的全局维数与表示维数结果的非交换推广。

ABSTRACT

We continue our study of the McKay Correspondence for grading preserving actions of semisimple Hopf algebras H on (noncommutative) Artin-Schelter regular algebras A. Here, we establish correspondences between module categories over A^H, over A\#H, and over \End_{A^H} A. We also study homological properties of (endomorphism rings of) maximal Cohen-Macaulay modules over A^H.

研究动机与目标

• 将经典的 McKay 对应关系推广至使用 Artin-Schelter 正则代数上半单 Hopf 代数作用的非交换情形。
• 在假设 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ 的同构成立的前提下，建立 $A^H$、$A\#H$ 与 $\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 的模范畴之间的范畴等价。
• 证明 $H$-作用在 $A$ 上的 Gabriel 有向图与 McKay 有向图作为有向图是同构的。
• 将 Herzog 与 Leuschke 关于全局维数与表示维数的结果推广至固定子代数 $A^H$ 的有限 Cohen-Macaulay 型的非交换情形。
• 研究 $A^H$ 上最大 Cohen-Macaulay 模的同调性质，特别是其自同态环的性质。

提出的方法

• 利用猜想的分次代数同构 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$，该同构在二维情形及某些其他情况下已被证明成立。
• 应用最大 Cohen-Macaulay 模及其自同态环的理论，构建 $A^H$、$A\#H$ 与 $\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 上不可约模之间的对应关系。
• 利用 $H$-模范畴的 Gabriel 有向图与 $H$-作用在 $A$ 上的 McKay 有向图，建立图同构。
• 应用非交换同调代数中的结果，包括平衡对偶复形与 Gorenstein 性质，分析自同态环的全局维数与深度。
• 使用表示维数的概念，并应用广义 AS 正则代数的定理，以界定最大 Cohen-Macaulay 模自同态环的全局维数。
• 应用文献 [17] 与 [26] 的结果，证明当 $\operatorname{cd}(B) = 2$ 时，最大 Cohen-Macaulay 模的自同态环是广义 AS 正则代数且满足 PI 性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半单 Hopf 代数作用在 Artin-Schelter 正则代数上时，同构 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ 成立？
• RQ2 $H$-作用在 AS 正则代数上的 Gabriel 有向图与 McKay 有向图是否作为有向图同构？
• RQ3 在固定子代数 $A^H$ 上，最大 Cohen-Macaulay 模的自同态环的全局维数是多少？
• RQ4 Leuschke 关于 Cohen-Macaulay 环表示维数的结果能否推广至 $A^H$ 的非交换情形？
• RQ5 当 $\operatorname{cd}(A^H) = 2$ 时，$A^H$ 上最大 Cohen-Macaulay 模的直和的自同态环是否为广义 AS 正则代数且满足 PI 性质？

主要发现

• 在假设猜想同构 $A\#H \cong \operatorname{End}_{A^H}(A)$ 成立的前提下，本文建立了 $A$ 作为左 $A^H$-模的不可约直和项的同构类、$\operatorname{End}_{A^H}(A)$ 上的有限生成投射初等模、$A\#H$ 上的模与 $H$-模的简单模之间的双射对应。
• $H$-作用在 $A$ 上的 Gabriel 有向图与 McKay 有向图作为有向图是同构的，证实了经典结果的非交换推广。
• 设 $B$ 为诺特性、标准分次、有限 Cohen-Macaulay 型且 $\operatorname{cd}(B) = 2$ 的 Cohen-Macaulay 代数，$M$ 为所有不可约 MCM 右 $B$-模（模去移位）的有限直和，则其自同态环 $E = \operatorname{End}_{B}(M)$ 是一个维数为 2 的诺特性 PI 广义 AS 正则代数。
• 当 $\operatorname{cd}(B) = 2$ 时，自同态环 $E$ 的全局维数为 2，且为 Gorenstein 环，具有平衡对偶复形，从而确认其广义 AS 正则性。
• 当 $\operatorname{cd}(B) = 2$ 且 $B$ 具有有限 Cohen-Macaulay 型时，$B = A^H$ 的中心是约化的，这是由于自同态环 $E$ 的半素性。
• 当 $\operatorname{cd}(B) \geq 3$ 时，该结果不成立，反例表明自同态环的全局维数为 3 但深度为 2，因此不是 Cohen-Macaulay 或 AS 正则的。