[论文解读] McKay's E7 and E6 observations on the Babymonster and the largest Fischer group

Gerald Hoehn, Ching Hung Lam+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 1

一句话总结

本文通过顶点算子代数（VOA）理论重新诠释了 McKay 对魔群（Monster）和费舍尔群 Fi24 的 E7 与 E6 观察。通过分析导出的 c=7/10 和 c=6/7 Virasoro 向量，建立了二面体子群与仿射 E7 和 E6 图中子代数之间的自然对应关系，表明 Miyamoto 对合的乘积生成了相应的散在群，并恢复了其 {3,4}-对合与 3-对合性质。

ABSTRACT

E7 part: In this paper, we study McKay's E7 observation on the Baby Monster. By investigating so called derived c=7/10 Virasoro vectors, we show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of the Baby Monster and certain subalgebras of the Baby Monster vertex operator algebra which are constructed by the nodes of the affine E7 diagram. This allows us to reinterpret McKay's E7 observation via the theory of vertex operator algebras. For a class of vertex operator algebras including the Moonshine module, we will show that the product of two Miyamoto involutions associated to derived c=7/10 Virasoro vectors in certain commutant vertex operator algebras is an element of order at most 4. For the case of the Moonshine module, we obtain the Baby monster vertex operator algebra as the commutant and we can identify the group generated by these Miyamoto involutions with the Baby Monster and recover the {3,4}-transposition property of the Baby Monster in terms of vertex operator algebras. E6 part: In this paper, we study McKay's E6-observation on the largest Fischer 3-transposition group Fi24. We investigate a vertex operator algebra VF of central charge 23+1/5 on which the Fischer group Fi24 naturally acts. We show that there is a natural correspondence between dihedral subgroups of Fi24 and certain vertex operator subalgebras constructed by the nodes of the affine E6 diagram by investigating so called derived Virasoro vectors of central charge 6/7. This allows us to reinterpret McKay's E6-observation via the theory of vertex operator algebras. It is also shown that the product of two non-commuting Miyamoto involutions of sigma-type associated to derived c=6/7 Virasoro vectors is an element of order 3, under certain general hypotheses on the vertex operator algebra. For the case of VF, we identify these involutions with the 3-transpositions of the Fischer group Fi24.

研究动机与目标

• 通过顶点算子代数（VOA）理论重新诠释 McKay 对魔群的 E7 观察。
• 通过导出的 c=7/10 Virasoro 向量，建立魔群的二面体子群与仿射 E7 图中子代数之间的对应关系。
• 证明与导出的 c=7/10 Virasoro 向量相关的 Miyamoto 对合的乘积可生成魔群，并满足 {3,4}-对合性质。
• 将分析扩展至最大的费舍尔群 Fi24，通过研究中心指数为 23+1/5 的 VOA。
• 证明非交换的 sigma 型 Miyamoto 对合的乘积阶为 3，从而恢复 Fi24 的 3-对合性质。

提出的方法

• 研究 VOA 中导出的 c=7/10 Virasoro 向量，特别是在月光模中的情况，以构造与仿射 E7 图同构的子代数。
• 分析月光模的交换子顶点算子代数，以识别魔群顶点算子代数。
• 利用与导出的 c=7/10 Virasoro 向量相关的 Miyamoto 对合，并研究其乘积，以恢复魔群的 {3,4}-对合性质。
• 研究中心指数为 23+1/5 的 VOA VF，其中 Fi24 自然作用，重点分析导出的 c=6/7 Virasoro 向量。
• 通过这些导出的 Virasoro 向量，建立 Fi24 的二面体子群与仿射 E6 图节点构造的子代数之间的对应关系。
• 在一般假设下，证明与 c=6/7 Virasoro 向量相关的两个非交换 sigma 型 Miyamoto 对合的乘积阶为 3。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过顶点算子代数的视角重新诠释 McKay 对魔群的 E7 观察？
• RQ2 魔群的二面体子群与从仿射 E7 图构造的魔群 VOA 子代数之间存在何种结构对应关系？
• RQ3 导出的 c=7/10 Virasoro 向量在通过 Miyamoto 对合及其乘积生成魔群的过程中起什么作用？
• RQ4 中心指数为 23+1/5 的 VOA VF 如何通过导出的 c=6/7 Virasoro 向量实现费舍尔群 Fi24 的作用？
• RQ5 在何种条件下，两个非交换的 sigma 型 Miyamoto 对合的乘积阶为 3，这与 Fi24 的 3-对合性质有何关联？

主要发现

• 通过导出的 c=7/10 Virasoro 向量，建立了魔群的二面体子群与从仿射 E7 图节点构造的魔群 VOA 子代数之间的自然对应关系。
• 在月光模中，与导出的 c=7/10 Virasoro 向量相关的两个 Miyamoto 对合的乘积生成的群实现了魔群，并满足 {3,4}-对合性质。
• 月光模关于导出的 c=7/10 Virasoro 向量的交换子被识别为魔群顶点算子代数。
• 对于中心指数为 23+1/5 的 VOA VF，通过导出的 c=6/7 Virasoro 向量，发现了 Fi24 的二面体子群与仿射 E6 图子代数之间的对应关系。
• 在一般假设下，证明了与导出的 c=6/7 Virasoro 向量相关的两个非交换 sigma 型 Miyamoto 对合的乘积阶为 3。
• 在 VF 的情形下，这些对合被识别为费舍尔群 Fi24 的 3-对合，通过 VOA 理论确认了 3-对合性质。