[论文解读] McKean-Vlasov SDEs with Drifts Discontinuous under Wasserstein Distance

Xing Huang, Feng‐Yu Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文在关于 Wasserstein 距离 $\mathbb{W}_0$ 或 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$（$\theta \geq 1$）的可积性和利普希茨条件之下，建立了具有奇异漂移项且在分布变量中不连续的 McKean-Vlasov SDE 的存在性与唯一性。关键贡献在于通过利用弱拓扑下的 Zvonkin 变换和 Krylov 估计，将适定性结果推广至不连续漂移项，从而改进了以往文献中要求漂移项在分布变量中连续的限制。

ABSTRACT

Existence and uniqueness are proved for Mckean-Vlasov type distribution dependent SDEs with singular drifts satisfying an integrability condition in space variable and the Lipschitz condition in distribution variable with respect to $W_0$ or $W_0+W_θ$ for some $θ\ge 1$, where $W_0$ is the total variation distance and $W_θ$ is the $L^θ$-Wasserstein distance. This improves some existing results where the drift is either locally bounded in the space variable or continuous in the distribution variable with respect to the Wasserstein distance.

研究动机与目标

• 建立在漂移项关于分布变量具有奇异性且不连续的分布依赖型 SDE 的强适定性与弱适定性。
• 通过允许在总变差距离和 Wasserstein 距离下存在不连续性，放宽现有文献中对漂移项在分布变量中连续性的假设。
• 将适定性结果推广至漂移项在空间上满足可积性条件、在分布上关于 $\mathbb{W}_0$ 或 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$（$\theta \geq 1$）满足利普希茨条件的情形。
• 为具有非光滑解的分布依赖 SDE 提供一个严谨的框架，该框架在平均场和动力学模型中具有相关性。

提出的方法

• 利用 Zvonkin 变换对 SDE 进行正则化，并在弱拓扑下推导先验估计。
• 应用 Krylov 估计以控制转移密度，并推导解的矩界。
• 在由解的分布定义的映射 $\Phi^\gamma$ 上使用不动点论证，处理分布流。
• 在配备度量 $\rho(\nu, \mu) = \sup_{t \in [0,t_0]} \|\nu_t - \mu_t\|_{TV}$ 的概率测度空间上，对 $\mathbb{W}_0$-利普希茨漂移项使用压缩映射方法。
• 对于 $\mathbb{W}_\theta$-利普希茨漂移项，使用联合度量 $\tilde{\rho}(\nu, \mu) = \sup_t \{ \|\nu_t - \mu_t\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta(\nu_t, \mu_t) \}$，在 $C([0,t_0]; \mathscr{P}_\theta)$ 中证明压缩性。
• 对所得积分不等式应用 Gronwall 引理，以建立初始分布扰动下分布流的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当漂移项在 $\mathbb{W}_0$ 或 $\mathbb{W}_\theta$ 下关于分布变量不连续时，是否可以建立 McKean-Vlasov SDE 的强适定性与弱适定性？
• RQ2 漂移项在空间上的可积性条件与在分布上的利普希茨连续性条件应满足何种要求，才能确保解的存在性与唯一性？
• RQ3 Zvonkin 变换与 Krylov 估计应如何调整以处理具有不连续漂移项的分布依赖型 SDE？
• RQ4 对漂移项在分布变量中连续性的要求，能否在超越 $\mathbb{W}_1$-利普希茨连续性的范围内进一步放宽？
• RQ5 能否通过 $\mathbb{W}_0$ 与 $\mathbb{W}_\theta$ 距离量化初始分布扰动下分布流的稳定性？

主要发现

• 当漂移项在空间上满足 $L^p$-可积性条件，且在分布变量中关于 $\mathbb{W}_0$ 或 $\mathbb{W}_0 + \mathbb{W}_\theta$（$\theta \geq 1$）满足利普希茨连续性时，McKean-Vlasov SDE 的强解存在且唯一。
• 在 $\mathbb{W}_0$-利普希茨条件下，解映射 $\mu_t = \mathscr{L}_{X_t}$ 在短时间区间 $[0, t_0]$ 上关于总变差范数为压缩映射，其中 $t_0 = \min\{T, 1/(K_1 K_3^2)\}$。
• 对于 $\mathbb{W}_\theta$-利普希茨漂移项，分布流在联合度量 $\|\cdot\|_{TV} + \mathbb{W}_\theta$ 下具有压缩性，从而在时间 $t_0 = 1/(2C)$ 内实现适定性，其中 $C$ 为某常数。
• 分布流的稳定性通过不等式 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^2 \leq 2\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^2 + \frac{K_1 K_3^2}{2} \int_0^t \|P_s^*\mu_0 - P_s^*\nu_0\|_{TV}^2 ds$ 得到量化，该不等式在 $\mathbb{W}_0$ 下蕴含指数稳定性。
• 对于 $\mathbb{W}_\theta$-利普希茨漂移项，稳定性估计 $\|P_t^*\mu_0 - P_t^*\nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(P_t^*\mu_0, P_t^*\nu_0)^{2m} \leq C'\{\|\mu_0 - \nu_0\|_{TV}^{2m} + \mathbb{W}_\theta(\mu_0, \nu_0)^{2m}\} + C' \int_0^t \cdots ds$ 成立，从而在联合度量下实现指数稳定性。