[论文解读] MDS Array Codes with Optimal Rebuilding

Itzhak Tamo, Zhiying Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2011

Advanced Data Storage Technologies参考文献 18被引用 28

一句话总结

本论文首次提出了显式构造的系统型MDS数组码，其重建比率对r-删除纠错码达到最优的$\frac{1}{r}$，并实现了信息论下限。该方法采用相交Zigzag集合（IZS码），在$\mathbb{F}_3$上使用线性组合，针对$r=2$的情况，仅通过访问每个存活节点的$\frac{1}{r}$数据即可实现精确重建，同时支持高效的编码、解码和最优更新特性。

ABSTRACT

MDS array codes are widely used in storage systems to protect data against erasures. We address the \emph{rebuilding ratio} problem, namely, in the case of erasures, what is the the fraction of the remaining information that needs to be accessed in order to rebuild \emph{exactly} the lost information? It is clear that when the number of erasures equals the maximum number of erasures that an MDS code can correct then the rebuilding ratio is 1 (access all the remaining information). However, the interesting (and more practical) case is when the number of erasures is smaller than the erasure correcting capability of the code. For example, consider an MDS code that can correct two erasures: What is the smallest amount of information that one needs to access in order to correct a single erasure? Previous work showed that the rebuilding ratio is bounded between 1/2 and 3/4, however, the exact value was left as an open problem. In this paper, we solve this open problem and prove that for the case of a single erasure with a 2-erasure correcting code, the rebuilding ratio is 1/2. In general, we construct a new family of $r$-erasure correcting MDS array codes that has optimal rebuilding ratio of $\frac{1}{r}$ in the case of a single erasure. Our array codes have efficient encoding and decoding algorithms (for the case $r=2$ they use a finite field of size 3) and an optimal update property.

研究动机与目标

• 解决关于$2$-删除纠错MDS数组码中单个删除的最小重建比率的开放问题。
• 构造一个适用于任意常数$r$的$r$-删除纠错系统型MDS数组码族，其重建比率达到最优$\frac{1}{r}$。
• 实现最优更新效率，即更新一个信息元素仅需在数组中更新$n-k+1$个元素。
• 匹配精确重建系统节点时对修复带宽的信息论下限。

提出的方法

• 提出一种新型码构造方法，称为相交Zigzag集合（IZS）码，其中校验符号通过信息符号的特定组合结构形成线性组合。
• 使用$\mathbb{F}_3$上的矩阵$A_l$，满足$A_l^3 = a^l I$的性质，通过子矩阵的行列式条件确保MDS特性。
• 确保矩阵$[I, A_0, \dots, A_m; A_0^2, \dots, A_m^2]$的所有$1\times1$、$2\times2$和$3\times3$块子矩阵均可逆。
• 利用矩阵$A_l$与$A_l^2$的可交换性，证明对所有$l,m$有$A_l A_m = A_m A_l$，从而保证码的一致行为。
• 通过码的复制技术将构造从$k+2$列扩展至$k+n$列码，同时保持最优重建和MDS特性。
• 通过行列式非零性证明MDS特性：利用$A^3 = a^{i-j}I \neq I$及$\det(A^3 - I)$的因式分解，证明$\det(A_i A_j^{-1} - I) \neq 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$2$-删除纠错MDS数组码中，单个删除的最小重建比率是多少？
• RQ2 能否实现$r$-删除纠错MDS数组码的显式构造，其重建比率为$\frac{1}{r}$？
• RQ3 在保持精确重建和MDS特性的同时，是否可以实现最优更新效率？
• RQ4 此类构造所需的最小有限域大小是多少，特别是当$r=2$时？

主要发现

• 在$2$-删除纠错MDS数组码中，单个删除的重建比率恰好为$\frac{1}{2}$，解决了该开放问题。
• 所提出的IZS码在纠正$r$个删除时，实现了信息论下限$\frac{1}{r}$的重建比率。
• 对于$r=2$，该码使用$\mathbb{F}_3$，支持高效的编码与解码，且有限域运算最少。
• 该码支持最优更新：更新一个信息元素仅需在数组中更新$n-k+1$个元素。
• 通过行列式分析证明MDS特性，即生成矩阵的所有$3\times3$块子矩阵均可逆。
• 通过码的复制方法可将构造扩展至任意$n$列，同时保持最优重建和MDS特性。