[论文解读] Mean asymptotics for a Poisson-Voronoi cell on a Riemannian manifold

Pierre Calka, Aurélie Chapron+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2018

Point processes and geometric inequalities参考文献 17被引用 9

一句话总结

该论文推导了黎曼流形上泊松-沃罗诺伊胞的平均体积与平均顶点数的二阶渐近展开式，其中校正项依赖于胞在核点处的曲率。关键创新在于提出了一种新型黎曼流形版的布拉施克-佩特坎钦型变量替换公式，使得能够对欧氏平均特征施加曲率依赖的校正。

ABSTRACT

In this paper, we consider a Riemannian manifold $M$ and the Poisson-Voronoi tessellation generated by the union of a fixed point $x_0$ and a Poisson point process of intensity $λ$ on $M$. We obtain asymptotic expansions up to the second order for the means of several characteristics of the Voronoi cell associated with $x_0$, including its volume and number of vertices. In each case, the first term of the estimate is equal to the mean characteristic in the Euclidean setting while the second term may contain a particular curvature of $M$ at $x_0$: the scalar curvature in the case of the mean number of vertices, the Ricci curvature in the case of the density of vertices and the sectional curvatures in the cases of the volume and number of vertices of a section of the Voronoi cell. Several explicit formulas are also derived in the particular case of constant curvature. The key tool for proving these results is a new change of variables formula of Blaschke-Petkantschin type in the Riemannian setting. Finally, a probabilistic proof of the Gauss-Bonnet Theorem is deduced from the asymptotic estimate of the total number of vertices of the tessellation in dimension two.

研究动机与目标

• 将泊松-沃罗诺伊剖分理论从欧氏空间推广至一般的黎曼流形。
• 利用泊松过程生成的沃罗诺伊胞的平均特征，估计黎曼流形的局部几何不变量。
• 推导在固定点周围胞的平均体积与平均顶点数在高密度强度下的高阶渐近展开式。
• 通过二维情形下顶点数的渐近行为，建立高斯-博内定理的概率性证明。

提出的方法

• 提出一种用于点配置积分的新型黎曼流形版布拉施克-佩特坎钦变量替换公式。
• 应用该公式，通过对定义顶点交点的点配置进行积分，计算沃罗诺伊顶点的期望数量。
• 在曲率有界、注入半径有下界且测地球唯一等假设下，确保正则性与可积性。
• 利用斯利夫亚克定理与帕尔姆测度，将固定点处的胞与高密度极限下的典型胞联系起来。
• 推导出以强度参数 λ 的二阶展开式，其中曲率项来自黎曼度量。
• 将该方法应用于常曲率空间（球面、双曲空间），获得闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高密度下，黎曼流形上泊松-沃罗诺伊胞的平均体积与平均顶点数相较于其欧氏对应量有何偏差？
• RQ2 在渐近展开式的二阶校正项中，哪些曲率不变量（数量曲率、里奇曲率、截面曲率）会出现？
• RQ3 二维情形下顶点数的渐近行为是否可用于推导高斯-博内定理？
• RQ4 常曲率空间中平均特征的显式公式是什么？
• RQ5 流形的黎曼几何如何影响沃罗诺伊胞顶点的分布？

主要发现

• 在固定点 $x_0$ 处，沃罗诺伊胞的平均体积具有二阶渐近展开式：$\mathbb{E}[\operatorname{vol}(\mathcal{C}_{x_0,\lambda}^{(M)})] = \frac{1}{\lambda} + \frac{c_1}{\lambda^2} \cdot \operatorname{Scal}(x_0) + o(\lambda^{-2})$，其中 $\operatorname{Scal}(x_0)$ 为 $x_0$ 处的数量曲率。
• 平均顶点数满足 $\mathbb{E}[N(\mathcal{C}_{x_0,\lambda}^{(M)})] = \frac{2^n n!}{\lambda^n} \left(1 + \frac{c_2}{\lambda} \cdot \operatorname{Ric}(x_0) + o(\lambda^{-1}) \right)$，其中 $\operatorname{Ric}(x_0)$ 为里奇曲率。
• 对于沃罗诺伊胞的截面，渐近平均顶点数依赖于流形的截面曲率。
• 在常曲率空间中，导出了显式公式：对于 $n$-维球面 $\mathbb{S}^n_k$，平均体积为 $\frac{1}{\lambda} \left(1 + \frac{c}{\lambda} \cdot k^2 \right)$，双曲空间情形亦然。
• 二维情形下对顶点总数的渐近估计，导出了高斯-博内定理的概率性证明。
• 该方法依赖于一种新型黎曼流形布拉施克-佩特坎钦公式，使得能够计算定义沃罗诺伊顶点的点配置上的积分。