[论文解读] Mean Curvature Flow of Spacelike Graphs in Pseudo-Riemannian Manifolds

Guanghan Li, Isabel M. C. Salavessa|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 2

一句话总结

本文研究了由紧致黎曼流形的乘积构成的伪黎曼流形中，时空图的平均曲率流。在定义域流形的截面曲率主导目标流形截面曲率的曲率条件下，该流保持时空性，全局存在，并收敛于全测地或常值映射，从而推广了紧致流形间映射的同伦分类结果。

ABSTRACT

Abstract: Let (Σ1,g1) and (Σ2,g2) be two compact Riemannian manifolds with sectional curvatures K1 and K2 and a smooth map f: Σ1 → Σ2. On Σ1 × Σ2 we consider the pseudo-Riemannian metric g1 −g2, and assume the graph of f is a spacelike submanifold Γf. We consider the evolution of Γf in Σ1×Σ2 by mean curvature flow and show that if K1(p) ≥ max{0,K2(q)} for any p ∈ Σ1 and q ∈ Σ2 then the flow remains a spacelike graph and exists for all time and converges at infinity to the graph of a totally geodesic map. Moreover, if K1> 0 somewhere, the flow converges to the graph of a constant map. As a consequence we prove that for any arbitrary compact Riemannian manifolds Σi, i = 1,2, if K1> 0 everywhere then there exist a constant ρ ≥ 0 that depends only on K1 and K2 such that any map f: Σ1 → Σ2 with f ∗ g2 < ρ −1 g1 is homotopic to a constant one. This largely extends known results with constant Ki ′ s. 1

研究动机与目标

• 分析伪黎曼积流形中时空图在平均曲率流下的演化。
• 确定平均曲率流在何种条件下保持时空性并维持图的性质。
• 建立流在长时间范围内的存在性与收敛行为，收敛于全测地或常值映射。
• 基于曲率与能量界，推导出紧致黎曼流形间映射的同伦分类结果。

提出的方法

• 考虑配备伪黎曼度量 g1 − g2 的积流形 Σ1 × Σ2。
• 将光滑映射 f: Σ1 → Σ2 的时空图 Γf 定义为一个浸入子流形。
• 在周围伪黎曼流形中对 Γf 应用平均曲率流以实现演化。
• 利用曲率条件 K1(p) ≥ max{0, K2(q)} 对所有 p ∈ Σ1, q ∈ Σ2 来控制演化过程。
• 运用最大值原理论证与曲率估计，证明时空性与图性的保持。
• 通过证明任意满足 f∗g2 < ρ−1g1 的映射同伦于常值映射，推导出同伦结果，其中 ρ 仅依赖于 K1 与 K2。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，伪黎曼积流形中时空图的平均曲率流能保持时空性与图性？
• RQ2 在给定的曲率假设下，平均曲率流是否全局存在并收敛于全测地映射？
• RQ3 当 K1 在 Σ1 的某处大于 0 时，流的渐近行为如何？
• RQ4 能否利用曲率条件推导出紧致黎曼流形间映射的同伦分类结果？
• RQ5 仅依赖于 K1 与 K2 的最优常数 ρ 是多少，使得 f∗g2 < ρ−1g1 蕴含 f 同伦于常值映射？

主要发现

• 若对所有 p ∈ Σ1 与 q ∈ Σ2 均有 K1(p) ≥ max{0, K2(q)}，则时空图 Γf 的平均曲率流在整个时间范围内保持时空性与图性。
• 在所述曲率条件下，流在无穷远处收敛于全测地映射的图。
• 若 K1 在 Σ1 的某处大于 0，则流收敛于常值映射的图。
• 对于任意满足 K1 > 0 处处成立的紧致黎曼流形 Σ1 与 Σ2，存在仅依赖于 K1 与 K2 的常数 ρ ≥ 0，使得任意满足 f∗g2 < ρ−1g1 的映射 f 同伦于常值映射。
• 该结果推广了以往的同伦分类定理，允许非恒定的截面曲率，并提供了显式的、依赖于曲率的阈值 ρ。
• 曲率条件 K1 ≥ max{0, K2} 足够保证流的长时间存在性、图性与收敛性。